2019　九州工業大学　前期MathJax

(ⅰ)　点$\mathrm{P}$の座標を$k$を用いて表せ．

(ⅱ)　点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線と直線$\mathrm{RS}$は平行であることを示せ．

(ⅲ)　直線$\mathrm{RS}$と曲線$C$で囲まれた図形の面積は$k$の値によらず一定になることを示せ．

(ⅳ)　直線$\mathrm{RS}$と曲線$C$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$k$を用いて表せ．

$f(x)=x+\sqrt{x^2+1}$

$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{k^2+1}}}$

次に答えよ．

(ⅰ)　${\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}}$を求めよ．

(ⅱ)　定積分${\displaystyle {\int }_1^{n+1}}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}}\mathit{dx}$を計算せよ．

(ⅲ)　数列$\{S_n\}$は発散することを示せ．ただし，自然数$k$に対して，$k\leqq x$のとき，$\sqrt{k^2+1}\leqq \sqrt{x^2+1}$が成り立つことを用いてよい．

(ⅳ)　$\underset{n\to \infty }{\lim }(S_{2n}-S_n)$を求めよ．ただし，自然数$k$に対して，$k-1\leqq x\leqq k$のとき，$\sqrt{x^2+1}\leqq \sqrt{k^2+1}\leqq \sqrt{{(x+1)}^2+1}$が成り立つことを用いてよい．

(ⅰ)　原点を中心として，点$\mathrm{A}$を反時計回りに$90$度回転させて得られる点を表す複素数を求めよ．

(ⅱ)　点$\mathrm{P}$および点$\mathrm{Q}$を表す複素数をそれぞれ求めよ．また，点$\mathrm{R}$および点$\mathrm{S}$を表す複素数をそれぞれ$a$を用いて表せ．

(ⅲ)　線分$\mathrm{QS}$の長さを$a$を用いて表せ．

(ⅳ)　線分$\mathrm{PR}$と線分$\mathrm{QS}$の長さの比を求めよ．

(ⅴ)　どのような正の実数$a$に対しても，$2$直線$\mathrm{PR}\text{，}$$\mathrm{QS}$は垂直であることを示せ．

(ⅰ)　箱$\mathrm{A}$から無作為に$1$個の玉を取り出し，色を確認し，箱$\mathrm{A}$に戻す．この試行を$3$回行うとき，白玉を$2$回，黒玉を$1$回取り出す確率を求めよ．

(ⅱ)　箱$\mathrm{A}$と箱$\mathrm{B}$から無作為に$1$個ずつ玉を同時に取り出し，箱$\mathrm{A}$から取り出した玉を箱$\mathrm{B}$に，箱$\mathrm{B}$から取り出した玉を箱$\mathrm{A}$に入れる．このとき，箱$\mathrm{A}$の中身が白玉$1$個と黒玉$2$個である確率$P_1\text{，}$箱$\mathrm{A}$の中身が白玉$2$個と黒玉$1$個である確率$P_2\text{，}$箱$\mathrm{A}$の中身が白玉$3$個である確率$P_3$をそれぞれ求めよ．

(ⅲ)　(ⅱ)の試行を$2$回続けて行う．すなわち，(ⅱ)の試行を行い，箱の中身をそのままにして，(ⅱ)の試行をもう$1$回行う．このとき，$1$回目で箱$\mathrm{A}$の中身が白玉$3$個になり，かつ$2$回目で箱$\mathrm{A}$の中身が白玉$2$個と黒玉$1$個になる確率を求めよ．

(ⅳ)　(ⅱ)の試行を$2$回続けて行う．このとき，箱$\mathrm{A}$の中身が白玉$2$個と黒玉$1$個である確率を求めよ．

(ⅴ)　(ⅱ)の試行を$2$回続けて行ったとき，箱$\mathrm{A}$の中身が白玉$2$個と黒玉$1$個であった．このとき，$1$回目の試行の後で，箱$\mathrm{A}$の中身が白玉$2$個と黒玉$1$個である条件付き確率を求めよ．