2019　福岡教育大学　後期MathJax

$z_n={\displaystyle \sum _{k=0}^n}{2}^k{(\cos \theta +i\sin \theta )}^k$

と定める．次の問いに答えよ．ただし，$i$は虚数単位である．

(問1)　$z_n$の虚部は${\displaystyle \sum _{k=0}^n}{2}^k\sin k\theta$であることを示せ．

(問2)　等式

${\displaystyle \frac{2^{n+2}\cos n\theta -2^{n+1}\cos (n+1)\theta -2\cos \theta +1}{5-4\cos \theta }}$$={\displaystyle \sum _{k=0}^n}{2}^k\cos k\theta$

が成立することを示せ．

(問3)

${\displaystyle \sum _{k=0}^7}{(-1+\sqrt{3}i)}^k$

の実部を求めよ．

(問1)　$a+\sqrt{5}b=0$ならば$a=b=0$となることを示せ．ただし，$\sqrt{5}$が無理数であることを用いてもよい．

(問2)　$a^2+b^2\ne 0$である$a\text{，}$$b$について$c+\sqrt{5}d$が$a+\sqrt{5}b$の逆数であるとき，$c\text{，}$$d$を$a\text{，}$$b$を用いて表せ．

(問3)　(問2)において$a\text{，}$$b$が整数であるとする．このとき，$c\text{，}$$d$が整数になる必要十分条件は$|a^2-5b^2|=1$であることを示せ．

$f(x_0)=g(x_0)\text{，}$$f^{\prime }(x_0)=g^{\prime }(x_0)$

を満たすものとする．次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(問1)　$a$および$x_0$の値を求めよ．

(問2)　$f(x)=g(x)$を満たす$x$は$x_0$のみであることを示せ．

(問3)　$b$を正の定数とする．等式

${\displaystyle {\int }_{\log b}^x}h(t)\mathit{dt}=a{e}^x+x^2-x$

を満たす関数$h(x)$および$b$の値を求めよ．ただし，対数は自然対数とする．