2019　福岡教育大学　前期MathJax

2019-10841-0101

2019　福岡教育大学　前期

教育(中等教育数学専修)学部

易□　並□　難□

(問1)　連立方程式

${\begin{cases} \log_{2} (1 - x) - 2 \log_{4} (y + 6) = - 2 \\ 3 \cdot 2^{x} + {(\frac{1}{\sqrt{2}})}^{y} = 2 \end{cases}$

を解け．

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【１】　次の問いに答えよ．

(問2)　 $m ，$ $n$ を自然数とする． $m^{2} + 1$ と $n^{2} + 1$ がともに $5$ で割り切れるならば， $m^{3} n^{3} - m n$ も $5$ で割り切れることを示せ．

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【１】　次の問いに答えよ．

(問3)　 $\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \frac{dx}{\sin x}$ の値を求めよ．

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【２】　 $a$ を正の定数とする．座標平面上の点 $A$ $(a, 0) ，$ 点 $B$ $(- a, 0)$ について，次の問いに答えよ．

(問１)　任意の点 $P$ $(x, y)$ について，

${(| \vec{PA} | | \vec{PB} |)}^{2} = {(\vec{PA} \cdot \vec{PB})}^{2} + 4 a^{2} y^{2}$

となることを示せ．ただし， $\vec{PA} \cdot \vec{PB}$ は $\vec{PA}$ と $\vec{PB}$ の内積を表し， $| \vec{PA} |$ と $| \vec{PB} |$ はそれぞれ $\vec{PA}$ と $\vec{PB}$ の大きさを表す．

(問２)　点 $P$ $(x, y)$ が

$| \vec{PA} | | \vec{PB} | = 2 \vec{PA} \cdot \vec{PB}$

を満たすとき， $P$ はどのような図形上にあるか図示せよ．

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【３】　 $1$ から $5$ までの番号を $1$ つずつ書いた $5$ 枚のカードがある．この中から $1$ 枚のカードを引いて番号を記録して元に戻す作業を $n$ 回繰り返す．このとき，記録した番号の和が偶数である確率を $p_{n}$ とする．次の問いに答えよ．

(問１)　 $p_{1} ，$ $p_{2} ，$ $p_{3}$ を求めよ．

(問２)　 $p_{n}$ と $p_{n + 1}$ の関係式を求めよ．

(問３)　 $\lim_{n \to \infty} p_{n}$ を求めよ．

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【４】　曲線 $y = \sqrt{1 - x^{2}} + x - 1$ $（ 0 ≦ x ≦ 1 ）$ と $x$ 軸で囲まれた部分を $D$ とする．次の問いに答えよ．

(問１)　極値，凹凸を調べて曲線の概形を書け．

(問２)　 $D$ の面積を求めよ．

(問３)　 $D$ を $x$ 軸のまわりに $1$ 回転してできる立体の体積を求めよ．

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