2019　高知大学　前期MathJax

【１】　$k$を実数の定数とする．$2$次方程式

$3x^2+\sqrt{6}x+k=0$

について，次の問いに答えよ．

(1)　この$2$次方程式が実数解をもつような$k$の値の範囲を求めよ．

(2)　$\theta$を$0\leqq \theta \leqq \pi$をみたす定数とする．この$2$次方程式の$2$つの解が$2\cos \theta +\sin \theta \text{，}$$\cos \theta +2\sin \theta$のとき，$\cos \theta \sin \theta$の値を求めよ．

(3)　(2)のとき，$k$の値を求めよ．

(4)　(2)のとき，$\cos 2\theta$の値を求めよ．

【２】　$p\text{，}$$q$を実数の定数とする．関数$f(x)=x^3+p{x}^2+qx$を考える．$y=f(x)$で表される曲線$C$は点$(2,0)$で$x$軸に接しているとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$p\text{，}$$q$の値を求めよ．

(2)　関数$f(x)$の極大値を求めよ．

(3)　点$(2,0)$を通り，曲線$C$に接する直線のうち，傾きが負であるものを$l$とする．曲線$C$と直線$l$で囲まれる部分の面積を求めよ．

【３】　四面体$\mathrm{OABC}$において$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．また，辺$\mathrm{OA}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$を$4:1$に内分する点を$\mathrm{E}$とし，線分$\mathrm{DE}$の中点を$\mathrm{M}$とする．さらに，直線$\mathrm{OM}$と平面$\mathrm{ABC}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$が平面$\mathrm{ABC}$上にあるとき，$s+t+u=1$をみたす実数$s\text{，}$$t\text{，}$$u$を用いて

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}+u\overrightarrow{c}$

と表されることを示せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(4)　$\mathrm{OM}:\mathrm{MQ}$を求めよ．

【４】　$xy$平面上の円$x^2+y^2=10$を考える．点$\mathrm{A}$$(2,4)$からこの円に引いた$2$本の接線との接点を$\mathrm{S}$$(x_1,y_1)\text{，}$$\mathrm{T}$$(x_2,y_2)$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$x_1<x_2$とする．

(1)　$2$点$\mathrm{S}\text{，}$$\mathrm{T}$の座標を求めよ．

(2)　$2$次関数$y=f(x)$のグラフ$C$が$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{S}\text{，}$$\mathrm{T}$を通るとき，$f(x)$を求めよ．

(3)　$2$点$\mathrm{S}\text{，}$$\mathrm{T}$を通る直線より上側で，(2)の$C$とこの円で囲まれる部分の面積を求めよ．

【１】　$c$を実数とする．$x\text{，}$$y$の多項式$x^2+y^2-5-c(xy-2)$を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$x^2+y^2-5-c(xy-2)=0$がどのような実数$c$に対しても成り立つような実数$x\text{，}$$y$の組$(x,y)$をすべて求めよ．

(2)　$c=2$のとき，$x^2+y^2-5-c(xy-2)$を$x\text{，}$$y$の$1$次式の積として表せ．

(3)　$c=0$のとき，$x^2+y^2-5-c(xy-2)$は$x\text{，}$$y$の$1$次式の積として表されないことを示せ．すなわち，$x\text{，}$$y$の多項式として$x^2+y^2-5$$=(px+qy+r)(sx+ty+u)$をみたす実数$p\text{，}$$q\text{，}$$r\text{，}$$s\text{，}$$t\text{，}$$u$は存在しないことを示せ．

(4)　$x^2+y^2-5-c(xy-2)$が$x\text{，}$$y$の$1$次式の積として表されるような$c$の値をすべて求めよ．

【２】　$a\text{，}$$b$を$a>b>0$をみたす実数とする．$xy$平面上の楕円${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$の焦点を$\mathrm{F}\text{，}$${\mathrm{F}}^{\prime }$とし，楕円上の点$\mathrm{A}$$(0,b)$をとる．さらに$\mathrm{O}$を原点とし，$\theta =\mathrm{\angle FAO}$$\text{（}0\leqq \theta <\pi \text{）}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\cos \theta$を$a\text{，}$$b$を用いて表せ．

(2)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{F}\text{，}$${\mathrm{F}}^{\prime }$を通る円$C$の中心を${\mathrm{O}}^{\prime }$とするとき，扇形${\mathrm{O}}^{\prime }\mathrm{AF}$（中心角$\mathrm{\angle A}{\mathrm{O}}^{\prime }\mathrm{F}$が$\pi$未満のほう）の面積$S$を$a$と$\theta$を用いて表せ．

(3)　円$x^2+y^2=b^2$の面積とこの楕円の面積の比は$b:a$であることを定積分を用いて示せ．

(4)　(3)の面積比が$1:2$のとき，(2)の面積$S$を$a$の式で表せ．

【３】　実数$x$に対して，$f(x)={\displaystyle \frac{2^x}{2^x+\sqrt{2}}}$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)=f(1-x)$をみたす実数$x$を求めよ．

(2)　すべての実数$x$に対して，$f(x)+f(1-x)$の値を求めよ．

(3)　${\displaystyle \sum _{n=1}^{2018}}f\left({\displaystyle \frac{n}{2019}}\right)={\displaystyle \frac{2^{\frac{1}{2019}}}{2^{\frac{1}{2019}}+\sqrt{2}}}+{\displaystyle \frac{2^{\frac{2}{2019}}}{2^{\frac{2}{2019}}+\sqrt{2}}}$$+\cdots$$+{\displaystyle \frac{2^{\frac{2018}{2019}}}{2^{\frac{2018}{2019}}+\sqrt{2}}}$の値を求めよ．

(4)　${\displaystyle {\int }_{-\frac{7}{2}}^{\frac{9}{2}}}f(x)\mathit{dx}$の値を求めよ．

【４】　次の問いに答えよ．

(1)　$x>1$をみたす実数$x$に対して，$x-\log x\geqq 1$であることを示せ．

(2)　正の整数$n$に対して，$2(\sqrt{n}-1)\geqq \log n$であることを示せ．

(3)　$2$以上の整数$n$に対して

${\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}}\log {\displaystyle \frac{k}{n}}\leqq {\displaystyle {\int }_{\frac{1}{n}}^1}\log x\mathit{dx}\leqq {\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}}\log {\displaystyle \frac{k+1}{n}}$

であることを示せ．

(4)　$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\right({\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}\log k)-\log n)$を求めよ．