2019　香川大学　前期MathJax

【１】　平行四辺形$\mathrm{ABCD}$について，$\mathrm{AB}=t\text{，}$$\mathrm{AD}=6\text{，}$$\mathrm{\angle BAD}=60\mathrm{°}$とする．直線$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{E}$を，$\mathrm{\angle AED}=90\mathrm{°}$となるようにとり，また線分$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{F}$を，$\mathrm{\angle ADF}=90\mathrm{°}$となるようにとる．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}$とおくとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AE}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$t$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{▵DEF}$が直角三角形となるような$t$の値を求めよ．

【２】　正四面体$\mathrm{ABCD}$の$4$つの頂点の上を，$1$秒ごとに別の頂点へと移動していく点$\mathrm{P}$を考える．時刻$0$では点$\mathrm{P}$は頂点$\mathrm{A}$におり，移動の規則は以下の通りとする．

a)　時刻$0$での点$\mathrm{P}$は，$3$頂点$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$にそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{3}}$の確率で$1$秒後に移動する．

b)　時刻$1$以降での点$\mathrm{P}$は，直前にいた頂点には${\displaystyle \frac{1}{5}}$の確率で$1$秒後に移動し，他の$2$頂点にはそれぞれ${\displaystyle \frac{2}{5}}$の確率で$1$秒後に移動する．

　点$\mathrm{P}$が時刻$n$に頂点$\mathrm{A}$にいる確率を$a_n$とするとき，次の問に答えよ．ただし時刻$n$とは，時刻$0$から$n$秒後の時刻のこととする．具体的には，$a_0=1\text{，}$$a_1=0$となる．

(1)　$a_2$を求めよ．

(2)　$a_3$を求めよ．

(3)　$a_4$を求めよ．

(編注)創造工学部（Aタイプ）は「具体的には，$a_0=1\text{，}$$a_1=0$となる．」を削除．

【３】　$a$を実数とする．$x$の$2$次関数$f(x)=(a^2+1)x^2+4ax$について，次の問に答えよ．

(1)　すべての実数$x$に対して$f(x)>-2$が成り立つような$a$の範囲を求めよ．

(2)　すべての実数$a$に対して$-1\leqq {\displaystyle \frac{2a}{a^2+1}}\leqq 1$となることを示せ．

(3)　すべての実数$n$に対して$f(n)>-2$が成り立つような$a$の範囲を求めよ．

【４】　関数$f(x)=8^x+4^x+4^{-x}+8^{-x}$について，次の問に答えよ．

(1)　$t=2^x+2^{-x}$とおくとき，$4^x+4^{-x}$および$8^x+8^{-x}$を$t$を用いて表せ．

(2)　$t$のとりうる値の範囲を求めよ．

(3)　$f(x)$の最小値と，そのときの$x$の値を求めよ．

【５】　関数$f(x)=\sin 2x+2\sin x$$\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$について，次の問に答えよ．

(1)　$f(x)$の最大値と，そのときの$x$の値を求めよ．

(2)　$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

【１】　$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$に対して，点$\mathrm{P}$$(\cos \theta ,\sin \theta )$をとる．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$2$次関数$y=f(x)$のグラフは，原点$\mathrm{O}$を通り，頂点が$\mathrm{P}$であるとする．このとき，$f(x)$を求めよ．

(2)　$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．

(3)　$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲における$V$の最大値を求めよ．

【２】　$0<x<1$において，$1-x^2\text{，}$$\sqrt{1-x^2}\text{，}$$\cos x$の値の大小を比較せよ．

【３】　$a\text{，}$$b$を実数とする．直線$y=ax+b$と楕円${\displaystyle \frac{x^2}{9}}+{\displaystyle \frac{y^2}{4}}=1$が，$y$座標が正の相異なる$2$点で交わるとする．このような点$(a,b)$全体からなる領域$D$を$ab$平面上に図示せよ．

【４】　四面体$\mathrm{ABCD}$の辺$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{AC}\text{，}$$\mathrm{BD}\text{，}$$\mathrm{CD}$上にそれぞれ点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{S}$をとる．ただし$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{S}$のどの点も四面体$\mathrm{ABCD}$の頂点とは異なるものとする．$4$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{S}$が同一平面上にあるとき，

${\displaystyle \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PB}}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{BR}}{\mathrm{RD}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{AQ}}{\mathrm{QC}}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{CS}}{\mathrm{SD}}}$

が成り立つことを示せ．