2019　徳島大学　後期理工学部MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$2$進法で表された循環小数${0.0\stackrel{\cdot }{0}01\stackrel{\cdot }{1}}_{(2)}$を$10$進法の既約分数の形で表せ．

(2)　自然数$n$を$7$進法と$9$進法で表すと，ともに$2$桁の数であり，各位の数の並びが逆になる．$n$を$10$進法で表せ．

(3)　(2)で求めた$n$に対して，$n!$を$2$進法で表したとき，末尾には連続して何個の$0$が並ぶか．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　次の$2$つの等式を証明せよ．

$\sin 3\theta =3\sin \theta -4{\sin }^3\theta \text{，}$$\cos 3\theta =4{\cos }^3\theta -3\cos \theta$

(2)　$2\cos 20\mathrm{°}$が方程式$x^3-3x-1=0$の解になることを示せ．また，他の$2$つの解が$2\cos 140\mathrm{°}\text{，}$$2\cos 260\mathrm{°}$となることを示せ．

(3)　方程式$x^3-3x+\sqrt{3}=0$の$3$つの解を三角関数を用いて表せ．

【３】　関数$f(x)=\sqrt{x}-{\displaystyle \frac{x\sqrt{x}}{3}}$は$x=x_0$で最大値をとる．次の問いに答えよ．

(1)　$x_0$を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$$\text{（}x\geqq x_0\text{）}$と$x$軸，および直線$x=x_0$で囲まれる図形の面積を求めよ．

(3)　曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれる部分を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

(4)　曲線$y=f(x)$$\text{（}{x}_0\leqq x\leqq 2\text{）}$の長さを求めよ．