2019　徳島大学　前期MathJax

【１】　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が$S_n=n^2+3n+2$で表されているとする．

(1)　一般項$a_n$を求めよ．

(2)　${\displaystyle \frac{S_1{S}_3}{S_2}}+{\displaystyle \frac{S_2{S}_4}{S_3}}+{\displaystyle \frac{S_3{S}_5}{S_4}}+\cdots +{\displaystyle \frac{S_n{S}_{n+2}}{S_{n+1}}}$を求めよ．

(3)　${\displaystyle \frac{S_4}{S_3{S}_5}}+{\displaystyle \frac{S_7}{S_6{S}_8}}+{\displaystyle \frac{S_{10}}{S_9{S}_{11}}}+\cdots +{\displaystyle \frac{S_{3n+1}}{S_{3n}{S}_{3n+2}}}$を求めよ．

【２】　自然数$n$に対し，$f(n)=n^2(n^2+8)$と定める．次の問いに答えよ．

(1)　$f(4)$の正の約数の個数を求めよ．

(2)　$f(n)$は$3$の倍数であることを証明せよ．

(3)　$f(n)$の相異なる素因数の個数が$2$個であり，かつ$f(n)$の正の約数の個数が$10$個であるとする．$n$をすべて求めよ．

【３】　$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=6\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=4\text{，}$$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=2\sqrt{11}$である$\mathrm{▵OAB}$を考える．

(1)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$および$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}|$を求めよ．

(2)　$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}|$を最小にする実数$t$の値$t_1$とその最小値を求めよ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とする．(2)の$t_1$に対して$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t_1\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とするとき，$\mathrm{▵OCD}$の面積を求めよ．

【４】　定数$\alpha$を${\displaystyle \frac{1}{2}}<\alpha <1$とする．数列$\{a_n\}$は

$a_1=\alpha \text{，}{a}_{n+1}=2{\displaystyle {\int }_0^1}|t-a_n|\mathit{dt}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$

によって定められる．次の問いに答えよ．

(1)　定数$x$を$0<x<1$とする．定積分${\displaystyle {\int }_0^1}|t-x|\mathit{dt}$を求めよ．

(2)　${\displaystyle \frac{1}{2}}<a_n<1$が成り立つことを示せ．

(3)　自然数$n$に対して，$b_n=\log (a_n-{\displaystyle \frac{1}{2}})$とおく．$b_n$を$n$と$\alpha$を用いて表せ．

(4)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$の値を求めよ．

【１】　自然数$n$に対し，$f(n)=n^2(n^2+8)$と定める．

(1)　$f(4)$の正の約数の個数を求めよ．

(2)　$f(n)$は$3$の倍数であることを証明せよ．

(3)　$f(n)$の正の約数の個数が$10$個であるような$n$をすべて求めよ．

【３】　原点を$\mathrm{O}\text{，}$点$\mathrm{A}$を$(1,0)$とする．点$\mathrm{P}$$(x,y)$を$\mathrm{OP}=1$かつ$y>0$となるようにとり，$\mathrm{\angle OAP}=\theta$$(0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とおく．線分$\mathrm{AP}$を$\cos \theta :(1-\cos \theta )$に内分する点を$\mathrm{M}$とし，$\mathrm{\angle OAP}$の$2$等分線と線分$\mathrm{OM}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)　$\mathrm{P}$の座標を$\theta$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ．

(3)　$\mathrm{▵OAQ}$の面積の最大値とそのときの$\theta$の値を求めよ．

【４】　座標平面上を動く点$\mathrm{P}$が原点の位置にある．$1$個のさいころを投げて，$1$の目が出たときには$y$座標はそのままで$x$座標を$1$だけ増やすように進み，$2$の目が出たときには$x$座標はそのままで$y$座標を$1$だけ増やすように進み，$3$の目が出たときには$y$座標はそのままで$x$座標を$1$だけ減らすように進み，$4$の目が出たときには$x$座標はそのままで$y$座標を$1$だけ減らすように進む．また，$5$の目が出たときには点$\mathrm{P}$は動かず，$6$の目が出たときには，点$\mathrm{P}$が原点にある場合は動かず，点$\mathrm{P}$が原点にない場合は原点に移る．次の問いに答えよ．

(1)　さいころを$2$回投げたとき，点$\mathrm{P}$が原点にある確率を求めよ．

(2)　さいころを$3$回投げたとき，点$\mathrm{P}$が原点にある確率を求めよ．

(3)　さいころを$4$回投げたとき，点$\mathrm{P}$が原点にある確率を求めよ．