2019　岡山大学　前期MathJax

【１】　$x$は$0<x<1$を満たす実数とする．三辺の長さが$1\text{，}$$1\text{，}$$2x$の二等辺三角形の内接円の半径を$r\text{，}$外接円の半径を$R$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$r$と$R$を$x$を用いて表せ．

(2)　${\displaystyle \frac{r}{R}}$を最大にする$x$とそのときの${\displaystyle \frac{r}{R}}$の値を求めよ．

【２】　$a\text{，}$$b$を正の数とする．数列$\{x_n\}$を

$x_1=a\text{，}$$x_2=b\text{，}$

$x_{n+2}={\displaystyle \frac{1+x_{n+1}}{x_n}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

により定める．以下の問いに答えよ．

(1)　$x_6\text{，}$$x_7$を$a\text{，}$$b$を用いて表せ．

(2)　$a=2$とする．$x_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$がすべて自然数になるような$b$の値をすべて求めよ．

【３】　一辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{E}\text{，}$辺$\mathrm{OC}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{F}$とする．$\mathrm{▵DEF}$の重心を$\mathrm{G}$とし，直線$\mathrm{OG}$と$\mathrm{▵ABC}$の交点を$\mathrm{H}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表せ．

(2)　線分$\mathrm{AH}$の長さを求めよ．

【４】　$a$を実数とする．座標平面上の放物線

$C\text{：}y=2x^2+4x+3$

と直線

$L\text{：}y=-2ax-a^2$

について，以下の問いに答えよ．

(1)　$C$と$L$が異なる$2$点で交わるような$a$の値の範囲を求めよ．

(2)　$a$の値が(1)の範囲にあるとする．$C$と$l$で囲まれる図形の面積$S$を最大にする$a$とそのときの$S$の値を求めよ．

【１】　$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の二人がじゃんけんをする．$1$回ごとに，勝った方は$2$点，負けた方は$0$点，あいこの場合はどちらも$1$点ずつを得るものとする．$n$回目のじゃんけんを終えた時点での$\mathrm{A}$の得点の合計を$a_n\text{，}$$\mathrm{B}$の得点の合計を$b_n$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$a_3=3$となる確率を求めよ．

(2)　$a_5=5$となる確率を求めよ．

(3)　$a_5\geqq b_5$となる確率を求めよ．

【２】　$a\text{，}$$b$を正の数とする．数列$\{x_n\}$を

$x_1=a\text{，}$$x_2=b\text{，}$

$x_{n+2}={\displaystyle \frac{1+x_{n+1}}{x_n}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

により定める．以下の問いに答えよ．

(1)　$x_6\text{，}$$x_7$を$a\text{，}$$b$を用いて表せ．

(2)　$x_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$がすべて自然数になるような$a\text{，}$$b$の組をすべて求めよ．

【３】　次の$3$つの等式

$z\bar{w}=\bar{z}w\text{，}$

$|z-1|=1\text{，}$

$|z-w|=2$

を満たす複素数$z\text{，}$$w$について，以下の問いに答えよ．ただし$z\ne 0$とし，$z$の偏角を$\theta$と表す．

(1)　複素数平面において$3$点$0\text{，}$$z\text{，}$$w$は一直線上にあることを示せ．

(2)　$z$と$w$を$\theta$を用いて表せ．

(3)　$\theta$は$0\leqq \theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲を動くとする．このとき$w$のとりうる値について，その虚部の最大の値を求めよ．

【４】　座標平面において線分$L\text{：}y=x$$\text{（}0\leqq x\leqq 1\text{），}$曲線$C\text{：}y=x^2-x+1$$\text{（}0\leqq x\leqq 1\text{）}$および$y$軸で囲まれた図形を$D$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$C$上の点$\mathrm{P}(t,t^2-t+1)$から$L$に下ろした垂線と$L$の交点を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{OQ}$の長さ$u$を$t$で表せ．ただし$\mathrm{O}$は原点とする．

(2)　(1)の$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$について線分$\mathrm{PQ}$の長さを$t$を用いて表せ．

(3)　図形$D$を直線$y=x$のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．