2019　奈良女子大学　後期MathJax

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2019　奈良女子大学　後期

理学部

易□　並□　難□

【１】　三角形 $ABC$ の各辺の長さを $AB = 7 ，$ $AC = x ，$ $BC = y$ とし， $∠BAC = 120 °$ とする．以下の問いに答えよ．

(1)　 $y^{2}$ を $x$ を用いて表せ．

(2)　次の不等式が成り立つことを示せ．

$x + 3 < y < x + 7$

(3)　 $x ，$ $y$ がともに正の整数であるとき， $x ，$ $y$ の値の組 $(x, y)$ をすべて求めよ．

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易□　並□　難□

【２】　座標平面上の放物線 $C ： y = x^{2}$ 上に $2$ 定点 $A_{1} ，$ $A_{2}$ と動点 $P$ をとり，それぞれの $x$ 座標を $a_{1} ，$ $a_{2} ，$ $p$ とする．ただし， $a_{1} < p < a_{2}$ とする． $3$ 点 $A_{1} ，$ $A_{2} ，$ $P$ における放物線 $C$ の接線をそれぞれ $l_{1} ，$ $l_{2} ，$ $m$ とし， $l_{1}$ と $l_{2}$ の交点を $T ，$ $l_{1}$ と $m$ の交点を $S_{1} ，$ $l_{2}$ と $m$ の交点を $S_{2}$ とする．以下の問いに答えよ．

(1)　点 $T$ の $x$ 座標を $a_{1} ，$ $a_{2}$ を用いて表せ．

(2)　線分 $S_{1} T$ の長さを $a_{1} ，$ $a_{2} ，$ $p$ を用いて表せ．

(3)　線分 $S_{1} T$ と $S_{2} T$ の長さの和が $p$ の値にかかわらず一定であるとする．このとき，点 $A_{1}$ と $A_{2}$ は $y$ 軸に関して対称であることを示せ．

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【３】　 $k$ を正の実数とする．座標平面上の曲線 $C_{1} ： x^{2} + 4 y^{2} = k$ $（ y > 0 ）$ と曲線 $C_{2} ： y = \frac{1}{x}$ $（ x > 0 ）$ が異なる $2$ 点 $P ，$ $Q$ で交わるとする．点 $P ，$ $Q$ の $x$ 座標をそれぞれ $p ，$ $q$ とする．ただし， $p < q$ とする．曲線 $C_{1}$ と $C_{2}$ によって囲まれた図形を $x$ 軸のまわりに $1$ 回転してできる回転体の体積を $V$ とする．以下の問いに答えよ．

(1)　 $k$ のとり得る値の範囲を求めよ．

(2)　 ${(q - p)}^{2} ，$ $q^{3} - p^{3}$ をそれぞれ $k$ を用いて表せ．

(3)　 $V$ を $k$ を用いて表せ．