2019　神戸大学　後期MathJax

(1)　$\tan {\displaystyle \frac{7\pi }{12}}$の値を求めよ．

(2)　$\alpha +\beta >{\displaystyle \frac{7\pi }{12}}$であることを示せ．

(3)　$\tan (\alpha +\beta )$が整数となるような組$(m,n)$をすべて求めよ．

$y\geqq 0\text{，}$$y^2-2xy+2y^2-1\leqq 0$

が表す$xy$平面上の領域を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体を$D$とする．以下の問に答えよ．

(1)　不等式$x-\sqrt{1-x^2}\geqq 0$を解け．

(2)　不等式$x+\sqrt{1-x^2}\geqq 0$を解け．

(3)　$t$を$-1\leqq t\leqq 1$をみたす実数とする．$xy$平面上の点$(t,0)$を通り$x$軸と垂直な平面による$D$の切り口の面積$S(t)$を求めよ．ただし，この平面と$D$の共通部分がない場合は$S(t)=0$とする．

(4)　$D$の体積$V$を求めよ．

(1)　得点が$0$点となる確率$p_0$を求めよ．

(2)　$n$を$1\leqq n\leqq N-6$をみたす整数とする．得点がちょうど$n$点となる確率$p_n$を求めよ．

(3)　$1\leqq n\leqq N-6$をみたす整数$n$に対し，(2)で求めた$p_n$を用いて$a_n=n{p}_n$とおく．$1\leqq n\leqq N-7$のとき，次の不等式を示せ．

${\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}}\leqq {\displaystyle \frac{14}{15}}$

(4)　(3)の$a_n$に対して，${\displaystyle \sum _{n=1}^{N-6}}{a}_n<1$であることを示せ．

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^x}(x-t)g(t)dt$

$g(x)=(2-x)e^{-x}-\pi \sin (\pi x)+2f^{\prime }(1)+2$

以下の問に答えよ．

(1)　$f^{\prime }(1)$の値を求めよ．

(2)　$x$を$0\leqq x\leqq 1$をみたす実数とするとき，

$x^2-({\displaystyle \frac{{\pi }^2}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{2}})x^3\leqq f(x)\leqq x^2$

であることを示せ．

(3)　$\underset{x\to +0}{\lim }{\displaystyle \frac{f(x)}{x\sin x}}$を求めよ．

ただし，$s_x\ne 0$かつ$s_y\ne 0$とする．科目$X$と科目$Y$の得点の相関係数$r$は

$r={\displaystyle \frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^3}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{{\displaystyle \sum _{i=1}^3}{(x_i-\bar{x})}^2}\sqrt{{\displaystyle \sum _{i=1}^3}{(y_i-\bar{y})}^2}}}$

で与えられる．

　座標空間内に$3$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}(x_1,x_2,x_3)\text{，}$$\mathrm{B}(y_1,y_2,y_3)$をとる．$\mathrm{O}$を通り，方向ベクトルが$(1,1,1)$の直線を$l$とする．$l$上の点$\mathrm{P}$を$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$と$l$が垂直になるようにとり，$l$上の点$\mathrm{Q}$を$\overrightarrow{\mathrm{QB}}$と$l$が垂直になるようにとる．以下の問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}\text{，}$点$\mathrm{Q}$の座標と内積$\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{QB}}$を$\bar{x}\text{，}$$\bar{y}\text{，}$$s_x\text{，}$$s_y\text{，}$$r$を用いて表せ．

(2)　$a={\displaystyle \frac{|\bar{x}-\bar{y}|}{s_y}}$とおくとき，$\cos \mathrm{\angle BPA}$を$a$と$r$を用いて表せ．

(3)　点$\mathrm{A}$と直線$l$を含む平面を$\alpha$とする．平面$\alpha$上の点$\mathrm{C}$を$\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{PA}}+\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$となるようにとる．点$\mathrm{B}$は$\alpha$上にないとし，$\alpha$上の点$\mathrm{K}$を$\overrightarrow{\mathrm{KB}}$と$\alpha$が垂直になるようにとる．科目$\mathrm{X}$と科目$\mathrm{Y}$の得点の相関係数$r$が$0<r<{\displaystyle \frac{s_x}{s_y}}$をみたすとき，点$\mathrm{K}$は線分$\mathrm{QC}$上にあることを示せ．