2019　神戸大学　前期MathJax

$f(x)=a{x}^2+bx+c$

で定める．曲線$y=f(x)$は点$(2,2-{\displaystyle \frac{c}{2}})$を通り，

${\displaystyle {\int }_0^3}f(x)dx={\displaystyle \frac{9}{2}}$

をみたすとする．以下の問に答えよ．

(1)　関数$f(x)$を$a$を用いて表せ．

(2)　点$(1,f(1))$における曲線$y=f(x)$の接線を$l$とする．直線$l$の方程式を$a$を用いて表せ．

(3)　$0<a<{\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．(2)で求めた直線$l$の$y\geqq 0$の部分と曲線$y=f(x)$の$x\geqq 0$の部分および$x$軸で囲まれた図形の面積$S$の最大値と，そのときの$a$の値を求めよ．

$1,3,4,1,3,4,1,3,4,\cdots$

すなわち，$a_1=1\text{，}$$a_2=3\text{，}$$a_3=4$で，$4$以上の自然数に対し，$a_n=a_{n-3}$とする．この数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．以下の問に答えよ．

(1)　$S_n$を求めよ．

(2)　$S_n=2019$となる自然数$n$は存在しないことを示せ．

(3)　どのような自然数$k$に対しても，$S_n=k^2$となる自然数$n$が存在することを示せ．

(1)　${\left|\overrightarrow{\mathrm{PM}}\right|}^2$を内積$\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{\angle AGB}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$の値を求めよ．

(3)　点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$を固定し，$\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}={\displaystyle \frac{5}{4}}$をみたすように点$\mathrm{P}$を動かすとき，$\mathrm{\angle ABG}$の最大値を求めよ．ただし，$0<\mathrm{\angle ABG}<\pi$とする．

(1)　関数

$f(x)={\displaystyle \frac{\log x}{x}}$

の$x>0$における最大値とそのときの$x$の値を求めよ．

(2)　$a$を$a\ne 1$をみたす正の実数とする．曲線$y=e^x$と曲線$y=x^a$$\text{（}x>0\text{）}$が共有点$\mathrm{P}$をもち，さらに点$\mathrm{P}$において共通の接線をもつとする．点$\mathrm{P}$の$x$座標を$t$とするとき，$a$と$t$の値を求めよ．

(3)　$a$と$t$を(2)で求めた実数とする．$x$を$x\ne t$をみたす正の実数とするとき，$e^x$と$x^a$の大小を判定せよ．

(1)　$P_2\text{，}$$P_3\text{，}$$P_4$を求めよ．

(2)　$n\geqq 36$のとき，$P_n$を求めよ．

(3)　$P_n={\displaystyle \frac{1}{18}}$となる$n$をすべて求めよ．

$x=\sin t\text{，}$$y=(1+\cos t)\sin t$$\text{（}0\leqq t\leqq \pi \text{）}$

で表される曲線を$C$とする．以下の問に答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$および${\displaystyle \frac{d^{2}y}{{dx}^2}}$を$t$の関数として表せ．

(2)　$C$の凹凸を調べ，$C$の概形を描け．

(3)　$C$で囲まれる領域の面積$S$を求めよ．