2019　京都工芸繊維大学　後期MathJax

【１】　$a$を実数とする．関数

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^x}(x-t)(2e^{2t}-a{e}^t)\mathit{dt}$

の$x\geqq 0$の範囲における最小値を求めよ．

【２】　数列$\{a_n\}$を，自然数$n$に対して

$a_n=\{\begin{array}{ll}1& \text{（}n\text{を}3\text{で割った余りが}0\text{または}1\text{のとき）}\\ -1& \text{（}n\text{を}3\text{で割った余りが}2\text{のとき）}\end{array}$

で定める．数列$\{b_n\}$を

$\{\begin{array}{ll}{b}_1=0& \\ b_{n+1}=b_n+{\displaystyle \frac{a_n}{n(n+3)}}& \text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}\end{array}$

で定める．

(1)　$b_2\text{，}$$b_3$の値を求めよ．

(2)　自然数$m$に対して$b_{3m}$を求めよ．また，極限$\underset{m\to \infty }{\lim }{b}_{3m}$を求めよ．

【３】(1)　複素数$z$についての方程式$z^2+\sqrt{2}i=0$の解$z$に対して，$z$の実部と虚部の値を求めよ．ただし，$i$は虚数単位である．

(2)　$c_0\text{，}$$c_1\text{，}$$c_2$および$a_0\text{，}$$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$a_3\text{，}$$a_4$を複素数とする．$x$の多項式

$P(x)=c_2{x}^2+c_{1}x+c_0\text{，}$$Q(x)=\overline{c_2}{x}^2+\overline{c_1}x+\overline{c_0}$

を考える．ただし，複素数$c$に共役な複素数を$\bar{c}$と表す．$x$の多項式の等式

$P(x)Q(x)=a_4{x}^4+a_3{x}^3+a_2{x}^2+a_{1}x+a_0$

が成り立つとき，$a_0\text{，}$$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$a_3\text{，}$$a_4$はすべて実数であることを証明せよ．

【４】　空間内に平面$\alpha$があり，また$\alpha$と垂直な単位ベクトル$\overrightarrow{n}$がある．この問題では，空間内の点$\mathrm{P}$に対して，$\mathrm{P}$を通り$\alpha$に直交する直線と$\alpha$との交点を${\mathrm{P}}^{\prime }$と表す．

(1)　空間内に$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$があり，$\mathrm{A}$は$\alpha$上にあるとする．このとき，等式

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{A}{\mathrm{B}}^{\prime }}+(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{n})\overrightarrow{n}$

が成り立つことを示せ．また，内積$\overrightarrow{\mathrm{A}{\mathrm{B}}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{\mathrm{A}{\mathrm{C}}^{\prime }}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$および$\overrightarrow{n}$を用いて表せ．

(2)　$\alpha$上に$1$辺の長さが$1$の正三角形$\mathrm{AQR}$がある．空間内の三角形$\mathrm{ABC}$で次の$2$つの条件を満たすものを考える．

(ⅰ)　$\mathrm{\angle BAC}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

(ⅱ)　${\mathrm{B}}^{\prime }\text{，}$${\mathrm{C}}^{\prime }$はそれぞれ$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$と一致する

これら$2$つの条件を満たす三角形$\mathrm{ABC}$の面積の最小値を求めよ．