2019　豊橋技術科学大学　前期MathJax

【１】　$0<q<1$なる実数$q$に対して，数列$\{a_n\}$を次のように定める．

$a_1=0\text{，}$$a_{n+1}=q{a}_n+1-q$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$

　以下の問いに答えよ．

(1)　数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を$n$の式で表せ．

原注：設問(2)以降削除

【２】　$xy$平面上に定点$\mathrm{A}$$(2,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(6,0)$があり，直線$y=kx$上に点$\mathrm{P}$がある．ただし，$k>0$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　直線$y=kx$に関して点$\mathrm{A}$と対称な点の座標を求めよ．

(2)　$k=1$のとき，線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{PB}$の長さの和$\mathrm{AP}+\mathrm{PB}$の最小値を求めよ．また，このときの$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(3)　$\mathrm{\angle APB}=90\mathrm{°}$となる点$\mathrm{P}$が存在するような$k$の範囲を求めよ．

(4)　$k={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$のとき，線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{PB}$の長さの平方の和${\mathrm{AP}}^2+{\mathrm{PB}}^2$の最小値を求めよ．また，このときの点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(5)　$k$が$k>0$なる実数を動くとき，線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{PB}$の長さの平方の和${\mathrm{AP}}^2+{\mathrm{PB}}^2$が最小となるような点$\mathrm{P}$の描く軌跡を求めよ．

【３】　以下の問いに答えよ．

(1)　$xy$平面上の楕円${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$で囲まれた領域を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を$V$とする．ただし，$a>0\text{，}$$b>0$とする．以下の設問に答えよ．

ア.　$V$の値を求めよ．

イ.　$a+b=1$を満たしているとき，$V$の最大値を求めよ．また，このときの$a$の値を答えよ．

(2)　$xy$平面上の楕円

$C_1\text{：}{\displaystyle \frac{x^2}{3}}+y^2=1$

で囲まれた領域を$D_1$とし，

$C_2\text{：}{x}^2+{\displaystyle \frac{y^2}{3}}=1$

で囲まれた領域を$D_2$とする．以下の設問に答えよ．

ア.　$C_1$と$C_2$の交点のうち，第$1$象限にある交点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

イ.　領域$D_1\cup D_2$の面積を求めよ．

【４】　右図のように，計$16$マスに仕切られた箱がある．縦$4$マスの並びに対し左から順に第$1$列，第$2$列，第$3$列，第$4$列と呼び，横$4$マスの並びに対し上から順に$\mathrm{A}$列，$\mathrm{B}$列，$\mathrm{C}$列，$\mathrm{D}$列と呼ぶことにする．この箱にいくつかの玉を無作為に投げ入れるとする．$1$つのマスには$1$つの玉しか入らないものとする．以下の問いに答えよ．ただし，答えが分数になるときは既約分数とせよ．

(1)　この箱に$4$個の白玉を入れるとする．

ア.　白玉が$4$個とも第$1$列と第$2$列の$8$マスの中に入る確率を求めよ．

イ.　$4$個の白玉が縦一列に並ぶ確率を求めよ．

(2)　この箱に$4$個の白玉と$4$個の赤玉を入れるとする．

ア.　赤玉が$4$個とも$\mathrm{A}$列と$\mathrm{B}$列の$8$マスの中に入り，かつ白玉が$4$個とも$\mathrm{C}$列と$\mathrm{D}$列の$8$マスの中に入る確率を求めよ．

イ.　赤玉$4$個が横一列に並び，かつ，白玉$4$個も横一列に並ぶ確率を求めよ．