2019　名古屋工業大学　後期MathJax

【１】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{\log x}{\sqrt{x}}}$により曲線$C\text{：}y=f(x)$を定める．$C$の接線で原点を通るものを$l$とする．

(1)　$f(x)$の極値を求めよ．

(2)　$l$の方程式をも求めよ．

(3)　$C$と$l$および$x$軸で囲まれる図形の面積$S$を求めよ．

【２】　$2$つの関数$f(t)=t^3+3t^2+4\text{，}$$g(t)=t^2-t+1$により，座標平面上の曲線$C$を次で定める．

$C\text{：}\{\begin{array}{l}x=f(t)\\ y=g(t)\end{array}$

(1)　関数$f(t)$の極値を求めよ．

(2)　曲線$C$の接線が$x$軸と平行となるとき，接点の座標を求めよ．

(3)　次を満たす実数の組$(a,b)$をすべて求めよ．

$a<b\text{，}$$f(a)=f(b)\text{，}$$g(a)=g(b)$

(4)　曲線$C$で囲まれる図形の面積$S$を求めよ．

【３】　$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$5$の数字を左から並べて$n$桁の数を作る．同じ数字を何回用いてもよいが，作った$n$桁の数の中に次の$6$種類の数字の並び$12\text{，}$$13\text{，}$$21\text{，}$$23\text{，}$$31\text{，}$$32$のいずれも現れてはいけない．

　このルールのもとで作ることができる$n$桁の数全体の集合を$A_n$とし，$A_n$の要素の個数を$a_n$で表す．たとえば$a_1=5$である．$A_n$の中で，末尾が$4$または$5$であるもの全体の集合を$B_n$とし，$B_n$の要素の個数を$b_n$で表す．

(1)　$a_2$を求めよ．

(2)　$b_{n+1}$を$a_n$を用いて表せ．

(3)　$a_{n+2}$を$a_{n+1}$と$a_n$を用いて表せ．

(4)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【４】　四面体$\mathrm{OABC}$に対し，辺$\mathrm{OB}$を$2:5$に内分する点を$\mathrm{D}$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$をそれぞれ$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．

　点$\mathrm{P}$が次を満たすとする．

$16\overrightarrow{\mathrm{OP}}=6\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c}$

　三角形$\mathrm{OBC}$と直線$\mathrm{AP}$の交点を$\mathrm{Q}$とし，$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{P}$を含む平面と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{R}$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(3)　${\displaystyle \frac{\mathrm{DQ}}{\mathrm{DR}}}$を求めよ．

(4)　三角形$\mathrm{ADR}$の面積を$S_1\text{，}$三角形$\mathrm{ADP}$の面積を$S_2$とするとき，${\displaystyle \frac{S_2}{S_1}}$を求めよ．

(5)　$\mathrm{AD}=1$であり，点$\mathrm{P}$は三角形$\mathrm{ADR}$の内心であるとする．$\mathrm{\angle ADR}$を$\theta$とおいて$\cos \theta$を求めよ．