2019　名古屋工業大学　前期MathJax

【１】　定数$k>{\displaystyle \frac{1}{2}}$に対して，$f(x)={\displaystyle \frac{k}{1+x}}$により曲線$C\text{：}y=f(x)$を定める．点$(-1,1)$から$C$に引いた接線が$C$に接する点を$\mathrm{P}$とする．点$(0,k)$と点$\mathrm{P}$を通る直線を$l$とする．曲線$C$と直線$l$で囲まれる図形を$D$とする．

(1)　$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(2)　$l$の方程式を求めよ．

(3)　$D$の面積$S$を求めよ．

(4)　$D$を直線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}$のまわりに$1$回転して得られる回転体の体積$V$を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　$x\geqq 0$のとき，不等式$e^x>{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$が成り立つことを示せ．

(2)　(1)の不等式を使って，$\underset{x\to \infty }{\lim }x{e}^{-x}=0$が成り立つことを示せ．

(3)　${\displaystyle \int }{e}^{-\sqrt{x}}dx$を求めよ．

(4)　$\underset{R\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^R}{e}^{-\sqrt{x}}dx$を求めよ．

【３】　座標平面上に，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周$C$と点$\mathrm{A}(2,0)$がある．$C$上に点$\mathrm{P}(\cos \theta ,\sin \theta )$$\text{（}0\leqq \theta \leqq \pi \text{）}$をとり，点$\mathrm{Q}(x(\theta ),y(\theta ))$を次の条件を満たすようにとる．

(ⅰ)　$\mathrm{PQ}=\mathrm{PA}$

(ⅱ)　半直線$\mathrm{OP}$は$\mathrm{\angle APQ}$を二等分する．

ただし，$\mathrm{P}$が$(1,0)$または$(-1,0)$にあるときは，点$\mathrm{Q}$は$\mathrm{A}$である．

　線分$\mathrm{AP}$と$C$の共有点が$\mathrm{P}$だけとなる$\theta$の範囲を$a\leqq \theta \leqq b$とする．

(1)　$a$と$b$の値を求めよ．

(2)　$x(\theta )$と$y(\theta )$を$\theta$を用いて表せ．

(3)　$\theta$が$a\leqq \theta \leqq b$の範囲で変化したときの$\mathrm{Q}$の軌跡を$C_1$とする．$C_1$の両端を結ぶ線分と$C_1$で囲まれる図形の面積$S$を求めよ．

(4)　線分$\mathrm{PQ}$を$1:4$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．$\theta$が$a\leqq \theta \leqq b$の範囲で変化したときの$\mathrm{R}$の軌跡を$C_2$とする．$C_2$の長さ$L$を求めよ．

【４】　複素数平面上に$3$点$\mathrm{A}(z)\text{，}$$\mathrm{B}(z^3)\text{，}$$\mathrm{C}(z^5)$がある．

(1)　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$が異なる$3$点となるための$z$の条件を求めよ．

(2)　異なる$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$が同一直線上にあるような$z$をすべて求めよ．

(3)　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$が正三角形の頂点になるとき，$z^2$の値をすべて求めよ．そのとき，さらに$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$がこの順に反時計回りの位置にあるような$z$をすべて求めよ．

(4)　直線$\mathrm{AC}$と直線$\mathrm{BC}$が垂直であるとき，$\left|z\right|<1$が成り立つことを示せ．