2019　名古屋大学　前期MathJax

【１】　$a$を実数とし，関数$f(x)=x^2+ax-a$と$F(x)={\displaystyle {\int }_0^x}f(t)dt$を考える．関数$y=F(x)-f(x)$のグラフが$x$軸と異なる$3$点で交わるための$a$の条件を求めよ．

【２】　非負の整数$n$に対して${\mathrm{P}}_n$を平面上の点とする．${\mathrm{P}}_0$の座標を$(1,0)$とし，${\mathrm{P}}_n$の座標$(x_n,y_n)$と${\mathrm{P}}_{n+1}$の座標$(x_{n+1},y_{n+1})$は

$x_{n+1}=x_n-k(y_n+y_{n+1})$

$y_{n+1}=y_n+k(x_n+x_{n+1})$

をみたすとする．ただし$k$を正の実数とする．

(1)　$k=\tan \left({\displaystyle \frac{\alpha }{2}}\right)$とする．ただし，$0<\alpha <\pi$とする．このとき${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2$の座標$(x_1,y_1)\text{，}$$(x_2,y_2)$を$\alpha$を用いて表せ．

(2)　${\mathrm{P}}_n$の座標$(x_n,y_n)$を(1)の$\alpha$と$n$を用いて表せ．

(3)　$\mathrm{O}$を$xy$平面の原点とするとき，三角形${\mathrm{P}}_n{\mathrm{OP}}_{n+1}$の面積を$k$を用いて表せ．

【３】　$1$つのサイコロを$3$回投げる．$1$回目に出る目を$a\text{，}$$2$回目に出る目を$b\text{，}$$3$回目に出る目を$c$とする．なお，サイコロは$1$から$6$までの目が等確率で出るものとする．

(1)　$2$次方程式$x^2-bx+c=0$が少なくとも$1$つ整数解をもつ確率を求めよ．

(2)　$2$次方程式$a{x}^2-bx+c=0$のすべての解が整数である確率を求めよ．

(3)　$2$次方程式$a{x}^2-bx+c=0$が少なくとも$1$つ整数解をもつ確率を求めよ．

【１】　正の整数$n$に対し

$I_n={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{3}}}{\displaystyle \frac{d\theta }{{\cos }^n\theta }}$

とする．

(1)　$I_1$を求めよ．必要ならば${\displaystyle \frac{1}{\cos \theta }}={\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{\cos \theta }{1+\sin \theta }}+{\displaystyle \frac{\cos \theta }{1+\sin \theta }})$を使ってよい．

(2)　$n\geqq 3$のとき，$I_n$を$I_{n-2}$と$n$で表せ．

(3)　$xyz$空間において$xy$平面内の原点を中心とする半径$1$の円板を$D$とする．$D$を底面とし，点$(0,0,1)$を頂点とする円錐を$C$とする．$C$を平面$x={\displaystyle \frac{1}{2}}$で$2$つの部分に切断したとき，小さい方を$S$とする．$z$軸に垂直な平面による切り口を考えて$S$の体積を求めよ．

【２】　空間内に$\mathrm{\angle BAC}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の直角二等辺三角形$\mathrm{ABC}$と平面$P$がある．点$\mathrm{A}$は$P$上にあり，点$\mathrm{B}$と点$\mathrm{C}$は$P$上にはなく，$P$に関して同じ側に位置している．点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$から$P$に下ろした垂線と$P$との交点をそれぞれ${\mathrm{B}}^{\prime }\text{，}$${\mathrm{C}}^{\prime }$とする．

(1)　$\overrightarrow{{\mathrm{AB}}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{{\mathrm{AC}}^{\prime }}+\overrightarrow{{\mathrm{B}}^{\prime }\mathrm{B}}\cdot \overrightarrow{{\mathrm{C}}^{\prime }\mathrm{C}}=0$を示せ．

(2)　$\mathrm{\angle }{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{AC}}^{\prime }>{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を示せ．

(3)　$P$上の三角形${\mathrm{AB}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }$の辺の長さは短いものから$4\text{，}$$\sqrt{21}\text{，}$$7$であった．このとき，辺$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．

【３】　正の整数$n$の正の平方根$\sqrt{n}$は整数ではなく，それを$10$進法で表すと，小数第$1$位は$0$であり，第$2$位は$0$以外の数であるとする．

(1)　このような$n$の中で最小のものを求めよ．

(2)　このような$n$を小さいものから順に並べたときに$10$番目にくるものを求めよ．

【４】　正の整数$n$に対して$1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$n$を一列に並べた順列を考える．そのような順列は$n!$個ある．このうち$1$つを等確率で選んだものを$(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$とする．この$(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$に対し，各添字$i=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$n$について，$a_i$の値が$j$であるとき，その$j$を添字にもつ$a_j$の値が$k$であることを$a_i=j\to a_j=k$と書くことにする．ここで$a_i=j\to a_j=k\to a_k=l\to \cdots$のようにたどり，それを続けていく．例えば$(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7)=(2,5,6,1,4,3,7)$のとき，

(ⅰ)　$a_1=2\to a_2=5\to a_5=4\to a_4=1\to a_1=2$

(ⅱ)　$a_3=6\to a_6=3\to a_3=6$

(ⅲ)　$a_7=7\to a_7=7$

となり，どの$i$から始めても列は必ず一巡する．この一巡するそれぞれの列をサイクル，列に現れる相異なる整数の個数をサイクルの長さと呼ぶ．上の(ⅰ)．(ⅱ)．(ⅲ)は長さがそれぞれ$4\text{，}$$2\text{，}$$1$のサイクルになっている．

(1)　$n=3$とする．選んだ順列が長さ$1$のサイクルを含む確率を求めよ．

(2)　$n=4$とする．長さ$4$のサイクルを含む順列をすべて挙げよ．

(3)　$n$以下の正の整数$k$に対して

${\displaystyle \sum _{j=k}^n}{\displaystyle \frac{1}{j}}>\log (n+1)-\log k$

を示せ．

(4)　$n$を奇数とする．選んだ順列が長さ${\displaystyle \frac{n+1}{2}}$以上のサイクルを含む確率$p$は$p>\log 2$をみたすことを示せ．