2019　岐阜大学　後期MathJax

【１】　右図のように，$4$つの異なる点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$と，それらを結ぶ$5$つの線分$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CD}\text{，}$$\mathrm{DA}\text{，}$$\mathrm{BD}$を考える．点$\mathrm{P}$は次の$2$つの規則(ⅰ)，(ⅱ)にしたがって，点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$を移動してゆく．以下において，$n$は自然数とする．

(ⅰ)　時刻$0$において，点$\mathrm{P}$は点$\mathrm{A}$にいる．

(ⅱ)点$\mathrm{P}$は，時刻が$n$になると，時刻$n-1$のときにいた点から$1$本の線分で結ばれる点のいずれかに移動する．そのとき，それぞれの点に移動する確率はすべて等しい．

　たとえば，時刻$n-1$に点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{A}$にいれば，時刻$n$には点$\mathrm{B}$または点$\mathrm{D}$にいる．そのとき，点$\mathrm{B}$に移動する確率，点$\mathrm{D}$に移動する確率はともに${\displaystyle \frac{1}{2}}$である．また，時刻$n-1$に点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{D}$にいれば，時刻$n$には点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$のいずれかにいる．そのとき，点$\mathrm{A}$に移動する確率，点$\mathrm{B}$に移動する確率，点$\mathrm{C}$に移動する確率はともに${\displaystyle \frac{1}{3}}$である．

　時刻$n$に点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$にいる確率を，それぞれ$a_n\text{，}$$b_n\text{，}$$c_n\text{，}$$d_n$とする．以下の問に答えよ．

(1)　$b_1$と$b_2$をそれぞれ求めよ．

(2)　$b_{n+1}$と$c_{n+1}$を，$a_n\text{，}$ $b_n\text{，}$$c_n\text{，}$$d_n$を用いてそれぞれ表せ．

(3)　$b_n=d_n$と$a_n=c_n$が成り立つことをそれぞれ示せ．

(4)　$b_{n+2}$を$b_{n+1}$と$b_n$を用いて表せ．

(5)　$e_n=b_{n+1}-b_n$とおく．数列$\{e_n\}$の一般項を求めよ．

(6)　数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．また，$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n$と$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$をそれぞれ求めよ．

【２】　$i$を虚数単位とする．複素数$z$について，以下の問に答えよ．

(1)　$\left|z\right|=1$であれば，$z^3+{\displaystyle \frac{1}{z^3}}$が実数であることを示せ．

(2)　${\displaystyle \frac{1}{z+i}}+{\displaystyle \frac{1}{z-i}}$が実数となる点$z$全体はどのような図形か．複素数平面上に図示せよ．

【３】　四面体$\mathrm{OABC}$が次の条件を満たすものとする．

$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\mathrm{BC}=1\text{，}$$\mathrm{\angle AOB}=\mathrm{\angle AOC}=45\mathrm{°}$

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．$\mathrm{▵ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とおく．$0<t<1$として，$\mathrm{OA}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{OB}$を$(1-t):t$に内分する点を$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{OC}$を$(1-t):t$に内分する点を$\mathrm{R}$とおく．また，$3$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$を通る平面と線分$\mathrm{OG}$の交点を$\mathrm{S}$とおく．以下の問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}\text{，}$$t$を用いて表せ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}\text{，}$$t$を用いて表せ．

(4)　線分$\mathrm{OS}$の長さが最大となる$t$の値を求めよ．

(5)　$t$を(4)で求めた値としたとき，$\cos \mathrm{\angle QPR}$の値を求めよ．

【４】　$a$を$0<a<1$となる定数とする．$x\geqq 0$で定義される関数$f(x)$が

${\displaystyle {\int }_0^x}f(t)\mathit{dt}$$=-1+e^{ax}$$+{\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{-x}{\displaystyle {\int }_0^x}{e}^{t}f(x-t)\mathit{dt}$

をみたしているとき，以下の問に答えよ．

(1)　置換積分を用いて次を示せ．

${\displaystyle {\int }_0^x}{e}^{t}f(x-t)\mathit{dt}=e^x{\displaystyle {\int }_0^x}{e}^{-t}f(t)\mathit{dt}$

(2)　関数$f(x)$を求めよ．

(3)　関数$f(x)$の，$x\geqq 0$における最小値を求めよ．

【５】　$xy$平面上に，点$\mathrm{A}(0,1)\text{，}$$\mathrm{B}(1,0)$と曲線$C\text{：}\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$がある．線分$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{P}$を通り線分$\mathrm{AB}$に垂直な直線と$C$の交点を$\mathrm{Q}$とする．

　線分$\mathrm{PQ}$を$1$辺とする正三角形$\mathrm{PQR}$を$xy$平面に対して垂直に作る．点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{B}$まで移動するとき，この正三角形が通過してできる立体を$E$とする．以下の問に答えよ．

(1)　線分$\mathrm{AB}$と曲線$C$で囲まれた図形を$D$とする．$D$の概形を描け．また，$D$の面積$S$を求めよ．

(2)　線分$\mathrm{AP}$の長さを$u$とする．正三角形$\mathrm{PQR}$の面積を$u$で表せ．

(3)　立体$E$の体積$V$を求めよ．