2019　信州大学　後期　経法，理，工，繊維学部MathJax

【１】　連立不等式$x^2+y^2\leqq 1\text{，}$$x\geqq 0\text{，}$$y\geqq 0$の表す領域を$D$とする．

(1)　領域$D$を図示せよ．

(2)　点$\mathrm{P}$$(x,y)$が領域$D$上を動くときの${\displaystyle \frac{1}{2}}x+y$の最大値と最小値を求めよ．また，それらを与える点$\mathrm{P}$の座標をそれぞれ求めよ．

【２】　$a$を正の定数とする．$a<t$をみたす実数$t$に対し，放物線$y={(x-a)}^2$上の$x$座標が$t$である点における接線を$l_1$とし，$l_2$と$x$軸の交点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$で$l_1$と垂直に交わる直線を$l_2$とし，$l_2$と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$と原点$\mathrm{O}$を頂点とする三角形の面積を$S(t)$とする．$S(t)$の最小値を$a$を用いて表せ．

【３】　$n$を自然数とする．

(1)　等式${\displaystyle \sum _{k=1}^{2n}}\cos {\displaystyle \frac{k\pi }{n}}=0$を示せ．

(2)　$c$を実数とする．自然数$k$に対し，

$a_k=c\sin {\displaystyle \frac{k\pi }{4n}}-\cos {\displaystyle \frac{k\pi }{4n}}$

$b_k=c\sin {\displaystyle \frac{k\pi }{4n}}+\cos {\displaystyle \frac{k\pi }{4n}}$

とおく．$2$つの変量$a\text{，}$$b$のデータが，$8n$個の$a\text{，}$$b$の値の組として，次のように与えられているとする．

$(a_1,b_1)\text{，}$$(a_2,b_2)\text{，}$$\cdots \text{，}$$(a_{8n},b_{8n})$

このとき，$2$つの変量$a\text{，}$$b$の共分散を求めよ．

【４】　次の問いに答えよ．

(1)　$x\geqq 0$とするとき${\displaystyle {\int }_x^{x+1}}{t}^2{e}^{-t}\mathit{dt}$が最大となる$x$の値を求めよ．

(2)　$g(x)$は$2n$次の整式で表された関数として

$G(x)=g(x)-g^{″}(x)+g^{(4)}(x)-\cdots +{(-1)}^n{g}^{(2n)}(x)$

とおく．

(ⅰ)　$G^{″}(x)+G(x)=g(x)$であることを証明せよ．

(ⅱ)　${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}g(x)\sin x\mathit{dx}=G(\pi )+G(0)$であることを証明せよ．

【５】　不等式$5p^2-2kp+5<0$をみたす整数$p$がただ$1$つであるような自然数$k$をすべて求めよ．

【６】　$\alpha$は複素数，$\beta$は$0$でない複素数とする．複素数平面において点$0$と点$\beta$を通る直線を$l_1\text{，}$点$\alpha$を通り直線$l_1$に直交する直線を$l_2$とする．また，$l_1$と$l_2$の交点を$\gamma$とする．

(1)　負でない実数$k$に対し，$|z-\gamma |=k$をみたす$l_2$上の点$z$を$\beta \text{，}$$\gamma \text{，}$$k$を用いて表せ．

(2)　$\gamma$を$\alpha$と$\beta$を用いて表せ．