2019　信州大学　前期　経法，理，医学部MathJax

【１】　初項$a$で公差$d$の等差数列の第$1$項から第$n$項で得られるデータの平均と分散を求めよ．

【２】　座標平面上の$\overrightarrow{0}$でないベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$は平行でないとする．$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を位置ベクトルとする点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$とする．また，正の実数$x\text{，}$$y$に対して$x\overrightarrow{a}$と$y\overrightarrow{b}$を位置ベクトルとする点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{PQ}$が線分$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を通るとき，$xy$の最小値を求めよ．ただし，位置ベクトルはすべて原点$\mathrm{O}$を基準に考える．

【３】　$n$を$3$以上の整数とする．$1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$n$の$n$個の数から異なる$3$個を選んで，それらを小さい順に$a\text{，}$$b\text{，}$$c$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$n=8$のとき，$a+b=c$となる$3$個の数の組$(a,b,c)$は何通りあるか．

(2)　一般の$n$について，$a+b=c$となる$3$個の数の組$(a,b,c)$は何通りあるか．

【４】　関数$f(x)$は，次をみたすとする．

$f(x)=x^2-{\displaystyle \frac{3x}{5}}{\displaystyle {\int }_0^1}f(t)\mathit{dt}+4$

曲線$C\text{：}y=f(x)$と直線$l\text{：}y=mx$は，$x$座標が正の点で接しているとする．

(1)　$m$の値と接点の座標を求めよ．

(2)　直線$x=1\text{，}$直線$l\text{，}$および曲線$C$で囲まれた領域の面積を求めよ．

【５】　次の問いに答えよ．

(1)　$a>1$とする．不等式${(1+t)}^a\leqq K(1+t^a)$がすべての$t\geqq 0$に対して成り立つような実数$K$の最小値を求めよ．

(2)　${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{(1+\sqrt[5]{1+\sin x})}^{10}\mathit{dx}<6080$を示せ．ただし，$\pi <3.15$であることを用いてよい．

【６】　次の問いに答えよ．

(1)　$2^n-1$が$3$で割り切れるような自然数$n$をすべて求めよ．

(2)　$n^n-1$が$3$で割り切れるような自然数$n$をすべて求めよ．

【７】　$n$を自然数，$\theta$を実数とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\cos (n+2)\theta -2\cos \theta \cos (n+1)\theta +\cos n\theta =0$を示せ．

(2)　$\cos \theta =x$とおくとき，$\cos 5\theta$を$x$の式で表せ．

(3)　${\cos }^2{\displaystyle \frac{\pi }{10}}$の値を求めよ．