2019　山梨大学　工（情報メカトロニクス工学科）学部推薦MathJax

　ただし，$3$つのグラスの内側の形状は以下のようになっているものとする．

・グラスの内側の形状は，$3$つとも垂線を軸とする回転体の形状である．

・グラス$\mathrm{A}$の内側形状は，半径$\sqrt{7}$で一定の回転体であり，高さは$2$である．

・グラス$\mathrm{B}$の内部形状は，グラスの底は半径$2\sqrt{3}\text{，}$底からの高さが$x$の位置では回転半径が$\sqrt{3}\cdot (2-x)$となる回転体の形状である．ただし，高さは$2$である（グラスは密閉されておらず，最上部には小さい口が空いているものとする）．

・グラス$\mathrm{C}$の内部形状は，底からの高さが$x$の位置では回転半径が$\sqrt{14}\cdot \sin x$となる回転体の形状である．ただし，高さは$2$である．

参考に，それぞれのグラスの回転中心軸を通る断面形状を下図に示す．

(1)　グラス$\mathrm{A}$においてジュースの液面の高さを$h$とする時，注がれてあるジュースの量$V_a$は

$V_a=7\pi \cdot h$

となることを積分を用いて説明しなさい．また，液面の高さ$h$とジュースの量$V_a$との関係をグラフに示し，その関係を文章で説明しなさい．

(2)　グラス$\mathrm{B}$において，ジュースの液面の高さが$h$の時のジュースの量$V_b$を求めなさい．また，液面の高さ$h$とジュースの量$V_b$との関係をグラフで示し，その関係を文章で説明しなさい．

(3)　上記と同様に，グラス$\mathrm{C}$において，ジュースの液面の高さが$h$の時のジュースの量$V_c$を求めなさい．また，液面の高さ$h$とジュースの量$V_c$との関係をグラフで示し，その関係を文章で説明しなさい．

(4)　上記(1)から(3)を踏まえて，$3$つのグラスの中でもっとも多くのジュースが注がれてあるグラスを$1$つ選びたい．ジュースの液面の高さに応じた選択すべきグラスについて，あなたの考えとその理由を述べなさい．（必要であれば，答案用紙のグラフを使用してもよい）