2019　山梨大学　後期MathJax

【１】　次の問題文の空欄$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ク}}$にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(1)　数を$n$進法で表すとき，その右下に${ }_{(n)}$と書く．${1101}_{(2)}+{110}_{(2)}$の計算結果を$10$進法で表すと$\boxed{\text{ア}}$であり，${0.124}_{(5)}÷{0.23}_{(5)}$の計算結果を$10$進法の小数で表すと$\boxed{\text{イ}}$である．ただし，$10$進法の場合は${ }_{(10)}$を省略せよ．

【１】　次の問題文の空欄$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ク}}$にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(2)　不等式${\displaystyle \frac{1}{2}}-x\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{x(1-x)}$を満たす実数$x$の値の範囲を求めると，$\boxed{\text{ウ}}\leqq x\leqq \boxed{\text{エ}}$となる．

【１】　次の問題文の空欄$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ク}}$にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(3)　$\mathrm{▵ABC}$の外接円の中心を$\mathrm{O}\text{，}$半径を$1$とする．$2\overrightarrow{\mathrm{OA}}+3\overrightarrow{\mathrm{OB}}+4\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{0}$が成り立つとき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\boxed{\text{オ}}$であり，$\mathrm{▵OAB}$の面積は$\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　次の問題文の空欄$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ク}}$にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(4)　$1$より大きい実数$x$が$(\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1})(\sqrt{x-1}+\sqrt{x+3})=4$を満たすとき，$(\sqrt{x-1}-\sqrt{x+1})(\sqrt{x-1}-\sqrt{x+3})$の値は$\boxed{\text{キ}}$であり，実数$x$の値は$x=\boxed{\text{ク}}$である．

【２】　次の問題文の空欄$\boxed{\text{ケ}}$から$\boxed{\text{セ}}$にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(1)　${(x^3+x^2+x+c)}^7$を展開すると，$c=2$ならば$x^3$の係数は$\boxed{\text{ケ}}$であり，$c=1$ならば$x^5$の係数は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　次の問題文の空欄$\boxed{\text{ケ}}$から$\boxed{\text{セ}}$にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(2)　$f(x)=e^x\cos (\sqrt{3}x)$とし，その第$n$次導関数を$f^{(n)}(x)$と書く．$f^{(2)}\left({\displaystyle \frac{\pi }{3\sqrt{3}}}\right)=A{e}^{\frac{\pi }{3\sqrt{3}}}\text{，}$$f^{(10)}(-{\displaystyle \frac{\pi }{\sqrt{3}}})=B{e}^{-\frac{\pi }{\sqrt{3}}}$（$A\text{，}$$B$は整数）と表すとき，$A=\boxed{\text{サ}}\text{，}$$B=\boxed{\text{シ}}$である．

【２】　次の問題文の空欄$\boxed{\text{ケ}}$から$\boxed{\text{セ}}$にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(3)　実数$a$の関数$f(a)={\displaystyle \sum _{k=1}^{31}}{(ak-k+1)}^2$が最小になるときの$a$の値は$a=\boxed{\text{ス}}$であり，$(a)$の最小値は$\boxed{\text{セ}}$である．分数は既約分数で答えよ．

【３】　山梨大学のある研究グループでは，ミーティングの後にコーヒーを飲む慣例になっている．各参加者がコーヒーに$\mathrm{A}$：「角砂糖を入れない」，$\mathrm{B}$：「角砂糖$1$個を入れる」$\mathrm{C}$：「角砂糖$2$個を入れる」のどれを選ぶかは独立で，すべて確率は${\displaystyle \frac{1}{3}}$であるとする．ある日のミーティングの後，$20$人の参加者が$1$杯ずつコーヒーを飲み，角砂糖が$24$個使われていた．このとき，$\mathrm{A}$が$k$人，$\mathrm{B}$が$l$人．$\mathrm{C}$が$m$人であった確率を$p(k,l,m)$として，$p(k,l,m)$が最大になるときの整数の組$(k,l,m)$を求めよ．ただし，角砂糖はコーヒーを飲むときにのみ使われるものとする．

【４】　$s=x+y+z\text{，}$$t=xy+yz+zx\text{，}$$u=xyz$とおく．また，自然数$n$に対して$p_n=x^n+y^n+z^n$とおく．

【５】　関数$f(x)=e^{-x}$について，

【６】　楕円$C\text{：}{\displaystyle \frac{x^2}{3}}+y^2=1$について，以下の問いに答えよ．