2019　山梨大学　前期MathJax

【１】

(1)　山梨の主要な果物であるブドウ，モモ，スモモをもらった．もらった数は，多い方からブドウ，モモ，スモモの順であった．ブドウの数はスモモの数の$3$倍あった．また，モモの数の$2$倍とスモモの数の$3$倍を足すと$21$個あった．もらった果物の総数を求めよ．ただし，ブドウは$1$房を$1$個として扱うものとする．

【１】

(2)　次の実数を小さい方から順に並べよ．またその順になる理由を説明せよ．

${\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$${\log }_{50}7\text{，}$$\sqrt[3]{0.13}$

【１】

(3)赤玉$p$個，青玉$q$個，白玉$r$個の合計$n$個のすべてを$1$列に並べてできる順列の総数は，同じものを含む順列の総数の公式から${\displaystyle \frac{n!}{p!q!r!}}$である．この公式が成り立つ理由を説明せよ．

【１】

(4)　$0\leqq \theta \leqq \pi$のとき，関数$y={\cos }^2\theta -\sin \theta \cos \theta$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．

【２】　$p\text{，}$$q$を定数とする．関数$f(x)=2x^3+p{x}^2+qx+1$は$x=1$で極値をとり，${\displaystyle {\int }_0^2}\{f(x+1)-f(x)\}\mathit{dx}=26$を満たす．

(1)　$p\text{，}$$q$を求めよ．

(2)　$a$を定数とする．方程式$f(x)=a$の異なる実数解の個数を求めよ．

【３】　原点を$\mathrm{O}$$(0,0,0)$とする$xyz$空間内に$3$点$\mathrm{A}$$(0,0,a)\text{，}$$\mathrm{B}$$(p,0,b)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,q,c)$がある．ただし，$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$p\text{，}$$q$は正の実数とする．また，点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$の距離は$a+b\text{，}$点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$の距離は$a+c\text{，}$点$\mathrm{B}$と点$\mathrm{C}$の距離は$b+c$であるとする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)　$p$を$a$と$b$で表せ．また$q$を$a$と$c$で表せ．さらに，$a={\displaystyle \frac{bc}{b+c}}$となることを示せ．

(2)　点$\mathrm{B}$から$x$軸に垂線を引き，その交点を${\mathrm{B}}^{\prime }$とする．また点$\mathrm{C}$から$y$軸に垂線を引き，その交点を${\mathrm{C}}^{\prime }$とする．このとき，$\mathrm{B}\text{，}$${\mathrm{B}}^{\prime }\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$${\mathrm{C}}^{\prime }$の$4$点は同一平面$\alpha$上にあることを示せ．また，点$\mathrm{A}$から平面$\alpha$に垂線を引き，その交点を$\mathrm{D}$とするとき，点$\mathrm{D}$の座標を$b$と$c$で表せ．

(3)　点$\mathrm{A}$を頂点とする三角錐$\mathrm{A}‐\mathrm{O}{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }$の体積$V_1\text{，}$および点$\mathrm{A}$を頂点とする四角錐$\mathrm{A}‐\mathrm{B}{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }\mathrm{C}$の体積$V_2$のそれぞれを，$b$と$c$で表せ．また，それらを用いて次の等式が成立することを示せ．

$V_1+V_2={\displaystyle \frac{a+b+c}{3}}\times {\displaystyle \frac{pq}{2}}$

【１】

(1)　硬貨を$1$枚投げて，表が出れば$\mathrm{A}$に$1$点を与え，裏が出れば$\mathrm{B}$に$1$点を与えることを繰り返し，その結果により得点を競うゲームを行う．$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$ともに$0$点から始め，先に$4$点を得た方が勝ちとなり，ゲームは終了する．最初に表が出たという条件のもとで$\mathrm{A}$が勝つ確率を求めよ．

【１】

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_0^1}\sqrt{4-3x^2}\mathit{dx}$を求めよ．

【１】

(3)　${\displaystyle \frac{a^3+a}{a+1}}={\displaystyle \frac{b^3+b}{b+1}}={\displaystyle \frac{c^3+c}{c+1}}\text{，}$$a\ne b\text{，}$$b\ne c\text{，}$$c\ne a$のとき，等式$a+b+c=0$が成り立つことを証明せよ．

【２】　自然数$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots$に対して

$a_n={\left({\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}\right)}^n+{\left({\displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{2}}\right)}^n$

と定める．

(1)　$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$a_3$の値を求めよ．

(2)　$a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$が成り立つことを示せ．

(3)　$a_n$は自然数であることを示せ．

(4)　$a_{n+1}$と$a_n$は互いに素であることを示せ．

【３】　$xy$平面上の放物線$C\text{：}y=a{x}^2+b$$\text{（}a<0\text{，}$$b>0\text{）}$上の点$\mathrm{P}$$(r,a{r}^2+b)$$\text{（}r>0\text{）}$における接線を$l$とする．また，$l$と$x$軸および$y$軸で囲まれた直角三角形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる円錐を$T$とし，$T$の高さを$h$とする．

(1)　$l$と$x$軸との交点の座標を$a\text{，}$$b\text{，}$$r$を用いて表せ．

(2)　$T$の体積$V$を$h\text{，}$$a\text{，}$$b$を用いて表せ．

(3)　(2)の$V$が最小となるときの$h$を求めよ．また，そのときの$V$を$a\text{，}$$b$を用いて表せ．

【４】　$xy$平面において，曲線$C$が媒介変数$t$$\text{（}0\leqq t\leqq \pi \text{）}$を用いて$x(t)=2t-\sin t\text{，}$$y(t)=\sin t{\cos }^{3}t$と表されている．

(1)　$x(t)$はつねに増加することを示せ．また，$x(t)$のとり得る値の範囲を求めよ．

(2)　${\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{dt}}}$を求めよ．

(3)　$y(t)=0$となる$t$を求めよ．また，$y(t)$の増減を調べ，最大値を求めよ．

(4)　$C$の第$1$象限の部分と$x$軸とで囲まれた部分の面積$S$を求めよ．