2019　金沢大学　前期　理工，医薬保健学域MathJax

【１】　$k$を正の定数とする．$2$次方程式$z^2-2kz+1=0$が虚数解をもつとし，虚部が正の虚数解を$\alpha$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$k$の値の範囲を求めよ．また，$\left|\alpha \right|$を求めよ．

(2)　$\cos {\displaystyle \frac{5}{12}}\pi$の値を求めよ．

(3)　複素数平面において，${\alpha }^3$が第$3$象限にあり，かつ${\alpha }^6$が第$1$象限にあるときの$\alpha$の偏角$\theta$$\text{（}0\leqq \theta <2\pi \text{）}$と$k$の値の範囲を求めよ．ただし，座標軸の点は，どの象限にも属さない．

(4)　(3)において求めた範囲に$\alpha$があるとき，$|1-{\alpha }^5|$の値の範囲を求めよ．

【２】　座標平面に$2$曲線$C_1\text{：}y=\sqrt{x}-4$$\text{（}x>0\text{）}$と$C_2\text{：}y=-\sqrt{1-x}$$\text{（}x<1\text{）}$がある．次の問いに答えよ．

(1)　$C_1$は区間$x>0$で上に凸であることを示せ．

(2)　点$\mathrm{F}$$({\displaystyle \frac{1}{2}},-2)$に関して，点$\mathrm{P}$と対称な点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{P}$が$C_1$上を動くとき，点$\mathrm{Q}$の軌跡が$C_2$であることを示せ．

(3)　$C_1$上の点$\mathrm{A}$における法線$l$が点$\mathrm{F}$を通るとし，$l$と$C_2$の共有点を$\mathrm{B}$とする．このとき，$\mathrm{A}$の座標$(x_1,y_1)$および$\mathrm{B}$の座標$(x_2,y_2)$をそれぞれ求めよ．

(4)　$C_1$上に点${\mathrm{X}}_1\text{，}$$C_2$上に点${\mathrm{X}}_2$をとる．線分${\mathrm{X}}_1{\mathrm{X}}_2$の長さの最小値を求めよ．

【３】　座標平面において，

$x=\sin t\text{，}$$y=\cos t-\sin t$$\text{（}0\leqq t\leqq 2\pi \text{）}$

で表される曲線を$C_1$とし，$x$軸に関して$C_1$と対称な曲線を$C_2$とする．$C_1$で囲まれる図形と$C_2$で囲まれる図形の共通部分の面積$S$を求めよ．

【４】　$p$を$2$より大きい素数，$n$を正の整数とする．$1\leqq k\leqq p^n$を満たす整数$k$で，$p$と互いに素であるもの全体の集合を$A$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$p=3\text{，}$$n=2$のとき，集合$A$を求めよ．

(2)　$A$に属する整数の個数，および$A$に属するすべての整数の和を求めよ．

(3)　$A$に属する整数$k$に対して，$kl-1$が$p^n$の倍数となるような$A$に属する整数$l$が存在し，それはただ一つであることを示せ．ただし，整数$a$と$b$が互いに素であるとき，$1$次不定方程式$ax+by=1$は，整数解をもつことが知られている．必要ならばこの事実を利用してよい．

(4)　$A$に属するすべての整数$k$についての${\displaystyle \frac{1}{k}}$の和を既約分数で表したとき，分子は$p^n$の倍数となることを示せ．