2019　金沢大学　前期　人間社会学域MathJax

2019　金沢大学　前期　人間社会学域

易□　並□　難□

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　方程式 $13 x + 9 y = 1$ の整数解をすべて求めよ．

(2)　不等式 $| t (t + 300) | ≦ 20000$ を満たす実数 $t$ の値の範囲を求めよ．

(3)　(2)で求めた範囲に含まれる整数の個数を求めよ．ただし，必要ならば $4.12 < \sqrt{17} < 4.13$ を用いてよい．

(4)　 $13$ で割ると $11$ 余り， $9$ で割ると $7$ 余るような整数で，(2)で求めた範囲に含まれるものは何個あるか．また，そのうち最小となるものを求めよ．

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【２】　 $k$ を $0$ 以上の定数とし， $3$ 次関数

$f (x) = x^{3} - (2 k + 1) x^{2} - (k^{3} - 8 k) x + (k^{3} - 6 k)$

を考える．次の問いに答えよ．

(1)　 $f (1)$ を求めよ．

(2)　方程式 $f (x) = 0$ が虚数解をもつような $k$ の値の範囲を求めよ．

(3)　 $k$ が $0$ 以上の実数全体を動くとき， $f (0)$ のとり得る値の最小値は $- 4 \sqrt{2}$ であることを示せ．また， $f (0) = - 4 \sqrt{2}$ のとき，方程式 $f (x) = 0$ の実数解の個数を求めよ．

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【３】　自然数 $n = 1 ，$ $2 ，$ $3 ，$ $\dots$ に対して，座標が $(\cos θ_{n}, \sin θ_{n})$ である単位円上の点 $P_{n}$ が次の規則(ⅰ)，(ⅱ)で定められている．

(ⅰ)　 $θ_{1} = 0 ，$ $θ_{2} = \frac{π}{3}$ とし，各 $n$ について，

$θ_{n} < θ_{n + 1} < θ_{n + 2} < θ_{n} + 2 π$

が成り立つ．

(ⅱ)　各 $n$ について， $P_{n + 2}$ は， $P_{n} ，$ $P_{n + 1}$ を両端とする $2$ つの弧のうち， $P_{n + 2}$ を含む弧を $2$ 等分する点である．

このように定めるとき， $θ_{3} = \frac{7}{6} π$ であることがわかる．次の問いに答えよ．

(1)　 $θ_{4} ，$ $θ_{5}$ を求めよ．

(2)　 $θ_{n + 1} - θ_{n} = β_{n}$ とおくとき， $β_{n + 1} = - \frac{1}{2} β_{n} + π$ を示し，数列 ${β_{n}}$ の一般項を求めよ．

(3)　数列 ${θ_{n}}$ の一般項を求めよ．