2019　富山大学　後期工，都市デザイン学部MathJax

【１】　次の各問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)=a^{ax}$の導関数を求めよ．ただし，$a$は正の定数とする．

(2)　$\theta$のとる値の範囲が$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{5}{4}}\pi$のとき，次の式で表される点$(x,y)$の軌跡を$C$とする．

$\{\begin{array}{l}x=\sin (\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{2}})\\ y=2\cos (\theta -{\displaystyle \frac{\pi }{2}})\end{array}$

　この軌跡$C$を$xy$平面に図示せよ．

(3)　上記(2)の軌跡$C$の両端の点と原点をそれぞれ直線で結び，この$2$本の直線と軌跡$C$で囲まれた図形を$F$とする．この図形$F$を$y$軸のまわりに半回転してできる立体の体積を求めよ．

【２】　半径$1$の半球が円錐に内接している．図はその円錐の軸を含む垂直断面である．点$\mathrm{A}$は円錐の頂点，点$\mathrm{B}$と点$\mathrm{C}$は円錐底面の周囲で断面にある点，点$\mathrm{O}$は円錐底面と半球底面の共通の中心である．$\mathrm{\angle BAC}$を$\theta$とする．ただし，$\theta$のとる値の範囲を$0<\theta <\pi$とする．

(1)　$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$のとき，円錐の体積を求めよ．

(2)　$t=\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}$として，円錐の体積を$t$の関数で表せ．

(3)　円錐の体積の最小値を求めよ．

(4)　点$\mathrm{D}$は，半球と円錐が接する点でできる円の$1$点である．線分$\mathrm{AO}$と線分$\mathrm{BD}$は交差する．線分$\mathrm{BD}$を含み垂直断面に直交する平面で円錐を切った断面は，楕円となる．$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，この楕円の面積を求めよ．

【３】　図に示すように，$xy$平面において$x$軸に平行な直線を等間隔で$n$本引く．このとき，隣り合う直線の間隔は$a$である．同様に，$y$軸にも平行な直線を同じ間隔で$n$本引く．以下の問いに答えよ．ただし，$n\geqq 2\text{，}$$a>0$とする．

(1)　直線の交点の数を$P_n\text{，}$隣り合う交点によって得られる長さ$a$の線分の数を$Q_n$とする．例えば図に示す$n=3$の場合，$P_3=9\text{，}$$Q_3=12$となる．$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{P_n}{Q_n}}$を求めよ．

(2)　$2$組の平行な直線で囲まれた四角形の数を$R_n$とする．このうち，正方形になっている四角形の数を$S_n$とする．例えば図に示す$n=3$の場合，$R_3=9\text{，}$$S_3=5$となる．$n=6$のとき，${\displaystyle \frac{S_6}{R_6}}$を求めよ．

(3)　$2$組の平行な直線で囲まれた正方形をひとつの面とする立方体を考える．各$n$において最大となる体積を$V_n$とする．例えば図に示す$n=3$の場合，$V_3=8a^3$となる．次の式が成立するように$\boxed{\text{ア}}$と$\boxed{\text{イ}}$にあてはまる数・式を答えよ．

${\displaystyle \sum _{k=2}^n}{V}_k={(\boxed{\text{ア}})}^2{(\boxed{\text{イ}})}^3$

必要であれば，次の恒等式を用いてもよい．

${(k+1)}^4-{(k-1)}^4=8k^3+8k$