2019　富山大学　後期理学部数学科MathJax

【１】　座標平面上の曲線$C$が媒介変数$t$を用いて

$x={\displaystyle \frac{1}{2}}\cos t-{\displaystyle \frac{1}{4}}\cos 2t-2\cos {\displaystyle \frac{t}{2}}\text{，}$$y={\displaystyle \frac{1}{2}}\sin t+{\displaystyle \frac{1}{4}}\sin 2t+2\sin {\displaystyle \frac{t}{2}}$$\text{（}0\leqq t\leqq 4\pi \text{）}$

と表されているとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　次の等式を示せ．

${\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{\mathit{dt}}}=\sin {\displaystyle \frac{t}{2}}(1+\cos {\displaystyle \frac{3t}{2}})\text{，}$${\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{dt}}}=\cos {\displaystyle \frac{t}{2}}(1+{\displaystyle \frac{3t}{2}})$

(2)　$y$座標が最小となる曲線$C$上の点の座標を求めよ．

(3)　曲線$C$の長さを求めよ．

【２】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を$a+b+c=0$かつ$abc\ne 0$であるような実数とする．数列$\{x_n\}$が漸化式

$x_1=1\text{，}$$x_2={\displaystyle \frac{3}{2}}\text{，}$$a{x}_{n+2}+b{x}_{n+1}+c{x}_n=0$$\text{（}n\geqq 1\text{）}$

を満たすとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\{x_{n+1}-x_n\}$が等比数列であることを示せ．

(2)　$\{x_n\}$が収束するための必要十分条件を$a\text{，}$$b$を用いて表せ．

(3)　$\{x_n\}$が(2)で求めた条件を満たすとき，極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{x}_k$を求めよ．

【３】　複素数平面上の原点を中心とする半径$1$の円を$C$とし，$a$は$0<a<1$を満たす実数とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}$${\displaystyle \frac{1}{a}}$が表す点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{P}$が$C$上を動くとき，$\mathrm{AP}:\mathrm{BP}$は一定であることを示せ．

(2)　$C$上の点$\mathrm{P}$を表す複素数$z$に対して${\displaystyle \frac{z}{(z-a)(z-{\displaystyle \frac{1}{a}})}}$は負の実数であることを示せ．