2019　富山大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$1$個のさいころを$2$回投げ，最初に出た目の数を$a\text{，}$次に出た目の数を$b$とするとき，$2$次方程式$x^2+ax+b=0$が実数解をもつ確率を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　実数$x\text{，}$$y$が$2^x=7^y=\sqrt{14}$を満たすとき，${\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$を有理数とする．$4$次方程式$x^4+a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$が$x=\sqrt{2}+i$を解にもつとき，$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$の値を求めよ．ただし，$i$は虚数単位である．

【２】　整式

$P(x,y,z)=xyz-3xy-2xz-yz$$+6x$$+3y$$+2z$$-6$

を考える．次の問いに答えよ．

(1)　$P(x,y,z)$を因数分解せよ．

(2)　$P(0,y,z)=1$を満たす整数の組$(y,z)$をすべて求めよ．

(3)　$xyz-3xy-2xz-yz+6x+3y+2z-7=0$を満たす自然数の組$(x,y,z)$をすべて求めよ．

【３】　$0\leqq a<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たす定数$a$に対して，関数

$f(x)=\sqrt{2}{x}^3-3(\sin a)x^2+\sin a\cos 2a$

を考える．次の問いに答えよ．

(1)　導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．また，$f^{\prime }(x)=0$となる$x$を求めよ．

(2)　方程式$f(x)=0$が異なる$3$つの実数解をもつような$a$の範囲を求めよ．

【１】　$n$次の整式で表された関数$f(x)$が，すべての実数$x$に対して

$f(x^2)=x^{3}f(x-1)+3x^5+3x^4-x^3$

を満たすとする．次の問いに答えよ．

(1)　$f(0)\text{，}$$f(1)\text{，}$$f(4)$の値を求めよ．

(2)　$f(x^2)$の次数と$x^{3}f(x-1)$の次数を，それぞれ$n$を用いて表せ．

(3)　$n\geqq 4$でないことを示せ．

(4)　$f(x)$を求めよ．

【２】　方程式$x^2+y^2-4y=0$で表される円$C$の中心を$\mathrm{P}$とする．また，点$\mathrm{Q}$$(2\sqrt{3},4)$から円$C$に$2$本の接線を引いたときの接点を$\mathrm{R}$$(x_1,y_1)\text{，}$$\mathrm{S}$$(x_2,y_2)$とする．ただし，$x_1<x_2$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$x_2\text{，}$$y_2$を求めよ．

(2)　$\mathrm{\angle RPS}$の大きさ$\theta$を求めよ．ただし，$0<\theta <\pi$とする．

(3)　線分$\mathrm{QR}\text{，}$線分$\mathrm{QS}\text{，}$および円$C$の短い方の弧$\mathrm{RS}$で囲まれる部分を，$\mathrm{\angle RQS}$の二等分線の周りに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．$x\cos \theta -\sin \theta =0$のとき，$\sin \theta$と$\cos \theta$を$x$を用いて表せ．

(2)　関数$f(x)={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}|x\cos t-\sin t|\mathit{dt}$$\text{（}x>0\text{）}$の最小値を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．$x\cos \theta -\sin \theta =0$のとき，$\sin \theta$と$\cos \theta$を$x$を用いて表せ．

(2)　関数$f(x)={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}|x\cos t-\sin t|\mathit{dt}$の最小値を求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　平面上の，$1$辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$を考える．点$\mathrm{P}$が正方形$\mathrm{ABCD}$の辺の上を$1$周するとき，点$\mathrm{P}$を中心とする半径$r$の円（内部を含む）が通過する部分の面積$S(r)$を求めよ．

(2)　空間内の，$1$辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$を考える．点$\mathrm{P}$が正方形$\mathrm{ABCD}$の辺の上を$1$周するとき，点$\mathrm{P}$を中心とする半径$1$の球（内部を含む）が通過する部分の体積$V$を求めよ．