2019　新潟大学　推薦理学部数学プログラムMathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}}$の整数部分を$a\text{，}$小数部分を$b$とする．$a$と$b$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　次の方程式を解け．

${({\log }_{3}x)}^4-({\log }_{3}x)({\log }_3{x}^3)+{\log }_3{x}^2=0$

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　$0\leqq x<2\pi$のとき，次の不等式を解け．

$\sqrt{2}\sin 2x-\sqrt{2}\sin x-2\cos x+1<0$

【１】　次の問いに答えよ．

(4)　$4$種類の数字$0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}$$3$を用いて表される自然数を，次のようにカードに書いて用意する．

$1$$2$$3$$10$$11$$\cdots$$1210$

つまり，小さい数から順番に$1$つずつ$1$枚のカードに書いて，$1$から$1210$まで用意する．これらの中から$1$枚のカードを取り出すとき，そのカードに書かれた数が$3$の倍数である確率を求めよ．

【２】　三角形$\mathrm{ABC}$と点$\mathrm{P}$が$3\overrightarrow{\mathrm{PA}}+4\overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{0}$を満たすとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とおく．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{P}$が三角形$\mathrm{ABC}$の内部にあることを示せ．

(3)　面積の比$\mathrm{▵PAB}:\mathrm{▵PBC}:\mathrm{▵PCA}$を求めよ．

【３】　次の条件によって定められる数列$\{x_n\}$がある．

$x_1=1\text{，}$$x_2=4\text{，}$$x_{n+2}=(p+3)x_{n+1}-3p{x}_n$

　次の問いに答えよ．ただし$p$は実数である．

(1)　数列$\{a_n\}$を$a_n=x_{n+1}-p{x}_n$により定める．数列$\{a_n\}$の一般項を$p$を用いて表せ．

(2)　数列$\{b_n\}$を$b_n=x_{n+1}-3x_n$により定める．数列$\{b_n\}$の一般項を$p$を用いて表せ．

(3)　$p\ne 3$のとき，数列$\{x_n\}$の一般項を$p$を用いて表せ．

(4)　$p=3$のとき，数列$\{c_n\}$を$c_n={\displaystyle \frac{x_n}{3^n}}$により定める．このとき数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．

【４】　関数$f(x)=(x+3)\sqrt{-x^2-2x+3}$$\text{（}-3\leqq x\leqq 1\text{）}$について，次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　$f(x)$の最大値を求めよ．

(3)　極限$\underset{x\to -3+0}{\lim }{f}^{\prime }(x)$と$\underset{x\to 1-0}{\lim }{f}^{\prime }(x)$を求めよ．