2019　新潟大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　座標平面上で，不等式$|y|\geqq \left|x\right|+x+1$の表す領域を図示せよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　$a$を定数とし，$f(x)=|x-2|+(a+1)-2$とする．関数$y=f(x)$のグラフが$x$軸とちょうど$2$点で交わるとする．そのとき，$a$の値の範囲を求め，不等式$f(x)\leqq y\leqq 0$の表す領域の面積を$a$で表せ．

【２】　座標平面上に放物線$C_1\text{：}y=x^2$と$C_2\text{：}y=x^2+c^2$を考える．ただし，$c$は正の定数とする．$C_1$上の点$(a,a^2)$から$C_2$に接線$l_1\text{，}{l}_2$を引き，接点の$x$座標をそれぞれ$b_1\text{，}{b}_2\text{（}{b}_1<b_2\text{）}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$a-b_1=b_2-a=c$が成り立つことを示せ．

(2)　$C_2$と接線$l_1\text{，}{l}_2$で囲まれた部分の面積を$c$で表せ．

【３】　座標空間において，$1$辺の長さが$1$の立方体$\mathrm{OABC}‐\mathrm{DEFG}$をなす$8$つの頂点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}\mathrm{B}(1,1,0)\text{，}\mathrm{C}(0,1,0)$および$\mathrm{D}(0,0,1)\text{，}\mathrm{E}(1,0,1)\text{，}\mathrm{F}(1,1,1)\text{，}\mathrm{G}(0,1,1)$をとる．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とおく．辺$\mathrm{DE}$上に点$\mathrm{P}(s,0,1)\text{（}0\leqq s\leqq 1\text{），}$辺 $\mathrm{CB}$上に点$\mathrm{Q}(t,1,0)\text{（}0\leqq t\leqq 1\text{）}$をとり，$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を含む平面と直線$\mathrm{GF}$との交点を$\mathrm{R}$とする．四角形$\mathrm{OPRQ}$の面積を$U$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{c}\text{，}\overrightarrow{d}$および$s\text{，}t$で表せ．

(2)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$s\text{，}t$で表せ．また，$U$を$s\text{，}t$で表せ．

(3)　点$\mathrm{R}$が辺$\mathrm{GF}$上にあるとき，$U$の最大値，最小値を求めよ．またそのときの$s\text{，}t$の値を求めよ．

【４】　多項式$P(x)=x^{2n}-n{x}^{n+1}+n{x}^{n-1}-1$について，次の問いに答えよ．ただし，$n$は$2$以上の整数とする．

(1)　$Q(t)=P(t+1)$とおく．多項式$Q(t)$の定数項，$t$の係数および$t^2$の係数は$0$であることを示せ．

(2)　$P(x)$は${(x-1)}^3$で割り切れるが，${(x-1)}^4$では割り切れないことを示せ．

(3)　方程式$P(x)=0$の整数解は$1$および$-1$のみであることを示せ．

【３】　平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において，辺$\mathrm{AB}$の長さを$p\text{，}$辺$\mathrm{BC}$の長さを$q$とし，$\theta =\mathrm{\angle BAD}$とおく．ただし$p>q$とする．平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の内部の点$\mathrm{P}$と$4$本の直線$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CD}\text{，}\mathrm{DA}$との距離のうちで最小のものを$r$とする．点$\mathrm{P}$が平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の内部を動くときの$r$の最大値を$R$とし，最大値$R$を与える点$\mathrm{P}$の軌跡を$L$とする．次の問いに答えよ．

(1)　平行四辺形$\mathrm{ABCD}$内に$L$を図示せよ．

(2)　半径$R$の円の中心が$L$上を動くとき，円およびその内部が通過する領域の面積を$S$とする．$S$を$p\text{，}q$および$\theta$で表せ．

(3)　平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の面積を$T$とする．(2)で求めた$S$に対して$\underset{\theta \to +0}{\lim }{\displaystyle \frac{S}{T}}$を求めよ．

【４】　半径がそれぞれ$a\text{，}b$の円を$C_a\text{，}{C}_b$とする．$C_a$上に点$\mathrm{A}\text{，}{C}_b$上に点$\mathrm{B}$をとる．はじめに$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を一致させ，$C_b$を$C_a$に外接させながら滑らないように回転させる．ここで，点$\mathrm{B}$が再び$C_a$上に来るときを$C_b$の回転の$1$周期とする．次の問いに答えよ．ただし，必要があれば，自然数$m\text{，}n$の最大公約数を$\gcd (m,n)$で表せ．

(1)　$a\text{，}b$を自然数とする．$C_b$上の点$\mathrm{B}$が$C_a$上の点$\mathrm{A}$に再び一致するとき，$C_b$は何周期回転しているか，$a\text{，}b$を用いて表せ．

(2)　$a\text{，}b$を正の有理数とし，$a={\displaystyle \frac{p}{q}}\text{，}b={\displaystyle \frac{s}{t}}$とおく．ここで$p\text{，}q$は互いに素な自然数とし，$s\text{，}t$も互いに素な自然数とする．$C_b$上の点$\mathrm{B}$が$C_a$上の点$\mathrm{A}$に再び一致するとき，$C_b$は何周期回転しているか，$p\text{，}q\text{，}s\text{，}t$を用いて表せ．

(3)　$a\text{，}b$は互いに素な自然数とする．$k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}a$に対して，$C_b$が$k$周期回転したとき，点$\mathrm{B}$が一致する$C_a$上の点を${\mathrm{A}}_k$とする．このとき$\{{\mathrm{A}}_1,{\mathrm{A}}_2,\cdots ,{\mathrm{A}}_n\}$は$C_a$をちょうど$a$等分することを示せ．

【５】　$a$は$-2<a<2$をみたす定数とし，関数$f(x)$を

$f(x)={\displaystyle \frac{\sin x+\cos x}{1+a\sin x\cos x}}$

とする．次の問いに答えよ．

(1)　$t=\sin x+\cos x$とおいて，$f(x)$を$t$と$a$を用いて表せ．また，$t$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　$f(x)$の最大値，最小値を求めよ．

(3)　$a=-1$と$a=1$の場合に，$u=\sin x-\cos x$とおいて，置換積分法により定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}f(x)dx$を求めよ．