2019　横浜国立大学　後期MathJax

$f(x)=x^3-(3p+2q)x^2+(2p+q)qx-p{q}^2$

とする．次の問いに答えよ．

(1)　$x$についての方程式$f(x)=0$が$3$重解をもつような$p\text{，}$$q$の値を求めよ．

(2)　$x$についての方程式$f(x)=0$の解がすべて実数となるような$(p,q)$の範囲を，$pq$平面上に図示せよ．

$x_k=\{\begin{array}{ll}{x}_{k-1}+1& \text{（}k\text{回目に投げた結果が表のとき）}\\ x_{k-1}-1& \text{（}k\text{回目に投げた結果が裏のとき）}\end{array}$$\text{（}k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{）}$

によって定める．$x_0\text{，}$$x_1\text{，}$$x_2\text{，}$$x_3\text{，}$$x_4$のうち，異なる点の個数がちょうど$n$個となる確率を$P(n)$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$P(3)$と$P(5)$をそれぞれ$a$の式で表せ．

(2)　$P(3)$と$P(5)$の大小を比較せよ．

(1)　$C_2$の方程式を，$a$を用いて表せ．

(2)　$C_1$と$C_2$の共有点がちょうど$2$個あるとき，$a$のとり得る値の範囲を求めよ．

(3)　$a$が(2)で求めた範囲を動くとき，$C_2$の通過する領域を$xy$平面上に図示せよ．

(＊)$\{\begin{array}{l}1\text{個のさいころを投げ，}\\ \text{(a)}1\text{または}2\text{の目が出たとき，}\mathrm{P}\text{を}x\text{軸の正の方向に}1\text{だけ動かす．}\\ \text{(b)}3\text{または}4\text{の目が出たとき，}\mathrm{P}\text{を}y\text{軸の正の方向に}1\text{だけ動かす．}\\ \text{(c)}5\text{または}6\text{の目が出たとき，}\mathrm{P}\text{の}x\text{座標が正ならば，}x\text{軸の}\\ \text{負の方向に}1\text{だけ動かし，}\mathrm{P}\text{の}x\text{座標が}0\text{以下ならば動かさない．}\end{array}$

　最初，$\mathrm{P}$は点$(0,0)$にある．次の問いに答えよ．

(1)　$5$回の試行後，$\mathrm{P}$が点$(3,1)$にある確率を求めよ．

(2)　$5$回の試行後，$\mathrm{P}$が点$(2,1)$にある確率を求めよ．

(3)　$n$を$2$以上の整数とする．$n$回の試行後，$\mathrm{P}$が点$(n-2,1)$にある確率を求めよ．

(4)　$n$を$3$以上の整数とする．$n$回の試行後，$\mathrm{P}$が点$(n-3,1)$にある確率を求めよ．

　次の問いに答えよ．

(1)　$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots$に対して，${\displaystyle \frac{{\mathrm{P}}_{n+2}{\mathrm{Q}}_{n+1}}{{\mathrm{P}}_{n+1}{\mathrm{Q}}_n}}$を求めよ．

(2)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }\mathrm{O}{\mathrm{P}}_n$を求めよ．

$\beta =\alpha +{\alpha }^2+{\alpha }^4\text{，}$$\gamma ={\alpha }^3+{\alpha }^5+{\alpha }^6$

とする．次の問いに答えよ．

(1)　$\beta +\gamma \text{，}$$\beta \gamma$の値を求めよ．

(2)　$\beta \text{，}$$\gamma$の値を求めよ．

(3)　$\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{7}}+\sin {\displaystyle \frac{4\pi }{7}}+\sin {\displaystyle \frac{8\pi }{7}}$および$\sin {\displaystyle \frac{\pi }{7}}\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{7}}\sin {\displaystyle \frac{3\pi }{7}}$の値を求めよ．

(1)　$0<x\leqq {\displaystyle \frac{1}{3}}$をみたす実数$x$に対して，

$x^{2n}<{\displaystyle \frac{1}{1-x^2}}-{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}}{x}^{2k}\leqq {\displaystyle \frac{9}{8}}{x}^{2n}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

が成り立つことを示せ．

(2)　$0<x\leqq {\displaystyle \frac{1}{3}}$をみたす実数$x$に対して，

${\displaystyle \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}}<\log {\displaystyle \frac{1+x}{1-x}}-{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}}{\displaystyle \frac{2x^{2k+1}}{2k+1}}$$<{\displaystyle \frac{9x^{2n+1}}{4(2n+1)}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

が成り立つことを示せ．

(3)　$0.691<\log 2<0.695$を示せ．