2019　横浜国立大学　前期MathJax

【１】　赤色，白色，黄色の$3$つのさいころを同時に投げ，それぞれのさいころの出た目を$x\text{，}y\text{，}z$とする．$x$と$y$の最小値を$m\text{，}$最大値を$M$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$m\leqq z\leqq M$となる確率を求めよ．

(2)　$m\leqq z\leqq M$という条件の下で，$M-m=3$となる条件付き確率を求めよ．

【２】　$1$辺の長さが$1$である正四面体$\mathrm{OABC}$がある．辺$\mathrm{OA}$上に点$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$上に点$\mathrm{E}\text{，}$辺$\mathrm{OC}$上に点$\mathrm{F}$があり，

$\mathrm{OD}:\mathrm{DA}=1:1\text{，}$$\mathrm{OE}:\mathrm{EB}=2:1\text{，}$$\mathrm{OF}:\mathrm{FC}=2:3$

をみたしている．さらに辺$\mathrm{OB}$と辺$\mathrm{AC}$の中点をそれぞれ$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{N}$とする．平面$\mathrm{DEF}$と直線$\mathrm{MN}$の交点を$\mathrm{P}$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$とおく．次の問いに答えよ．

(1)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{MN}}\right|$を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(3)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{MP}}\right|$を求めよ．

【３】　実数$a$に対し，$xy$平面上の曲線$y=x^3-ax$を$C$とする．$C$上の異なる$2$点${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2$と，$2$つの直線$l_1\text{，}{l}_2$があり，$k=1\text{，}2$に対して以下の条件をみたしている．

(ⅰ)　${\mathrm{P}}_k$の$x$座標は正である．

(ⅱ)　$l_k$は${\mathrm{P}}_k$を通り，さらに${\mathrm{P}}_k$における$C$の接線と直交する．

(ⅲ)　$l_k$は${\mathrm{P}}_k$以外の点で$C$と接する．

　次の問いに答えよ．

(1)　$a$のとり得る値の範囲を求めよ．

(2)　$k=1\text{，}2$に対して，$C$と$l_k$によって囲まれる部分の面積を$S_k$とする．$S_1+S_2$を$a$の式で表せ．

【１】　三角形$\mathrm{OAB}$があり，各辺の長さは$\mathrm{OA}=1\text{，}\mathrm{OB}=\sqrt{3}\text{，}\mathrm{AB}=2$である．自然数$n$に対し，

${\mathrm{AP}}_k={\displaystyle \frac{k}{n}}\mathrm{AB}\text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$

となるような点${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{P}}_n$を辺$\mathrm{AB}$上にとる．次の問いに答えよ．

(1)　線分${\mathrm{OP}}_k\text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$の長さを求めよ．

(2)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{{({\mathrm{OP}}_k)}^2}}$を求めよ．

【３】　$n$を$3$以上の整数とする．$1$個のさいころを$n$回投げたときに，出た目を大きい順に並べたものを

$X_1\text{，}{X}_2\text{，}\cdots \text{，}{X}_n$$\text{（}{X}_1\geqq X_2\geqq \cdots \geqq X_n\text{）}$

とする．たとえば，$1$個のさいころを$5$回投げて，出た目が順に$4\text{，}5\text{，}3\text{，}4\text{，}2$であったとすると，

$X_1=5\text{，}$$X_2=4\text{，}$$X_3=4\text{，}$$X_4=3\text{，}$$X_5=2$

となる．$1$個のさいころを$n$回投げたとき，次の事象が起こる確率をそれぞれ求めよ．

(1)　$X_n=2$

(2)　$X_2=6$

(3)　$X_2=6$かつ$X_n=2$

【４】　$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面上に$2$点$\mathrm{A}(2,0)\text{，}\mathrm{B}(0,2)$がある．$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$は条件(＊)をみたしながら動く．

(＊)$\{\begin{array}{l}\mathrm{P}\text{は線分}\mathrm{OA}\text{上にある．}\\ \mathrm{Q}\text{は線分}\mathrm{OB}\text{上にある．}\\ \mathrm{▵OPQ}\text{の面積は}1\text{である．}\end{array}$

点$\mathrm{P}$の座標を$(t,0)$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$t$のとり得る値の範囲を求めよ．

(2)　$t$が(1)で求めた範囲を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$が通過する領域を$xy$平面上に図示せよ．

(3)　(2)で求めた領域の面積$S$を求めよ．

【５】　$2$つの関数$f(x)=e^{-x}\sin x\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{）}$と$g(x)=-e^{-x}\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{）}$について，次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$が最小値をとるときの$x$の値を求めよ．

(2)　$f(x)=g(x)$を満たす$x$の値を求めよ．

(3)　$2$曲線$C_1\text{：}y=f(x)\text{，}{C}_2\text{：}y=g(x)$と$y$軸で囲まれる部分を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．