2019　東京学芸大学　前期MathJax

【１】 整数を係数とする$3$次方程式$x^3+a{x}^2+bx+1=0$が整数解と虚数解をもつとき，$a\text{，}$$b$の値の組をすべて求めよ．

【２】　座標平面上の双曲線$C\text{：}xy=1$上に異なる$3$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$をとるとき，下の問いに答えよ．

(1)　三角形$\mathrm{PQR}$の垂心は，双曲線$C$上にあることを示せ．ただし，三角形の各頂点から対辺またはその延長に下ろした$3$本の垂線は$1$点で交わり，その点を三角形の垂心という．

(2)　点$\mathrm{P}$の$x$座標が$-1$であるとき，三角形$\mathrm{PQR}$が正三角形となるような点$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$の座標を求めよ．

【３】　座標平面上の点$(p,0)$から楕円$C\text{：}{\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$$\text{（}a>0\text{，}$$b>0\text{）}$へ引いた$2$本の接線$l_1\text{，}$$l_2$が直交するとき，下の問いに答えよ．ただし，$p>a$とする．

(1)　$p$を$a$と$b$を用いて表せ．

(2)　$a=\sqrt{3}\text{，}$$b=1$のとき，楕円$C$と接線$l_1\text{，}$$l_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【４】 関数$f(x)$は，$x\geqq 0$で定義された$f(0)=0\text{，}$$f(x)>2x^2$$\text{（}x>0\text{）}$を満たす単調増加な連続関数で，その逆関数も連続とする．曲線$y=x^2\text{，}$$y=2x^2\text{，}$$y=f(x)$をそれぞれ$C_1\text{，}$$C_2\text{，}$$C_3$とする．正の実数$t$に対し，$0\leqq x\leqq t$において，曲線$C_1\text{，}$$C_2$および直線$x=t$で囲まれた図形の面積を$A(t)\text{，}$曲線$C_2\text{，}$$C_3$および直線$y=2t^2$で囲まれた図形の面積を$B(t)$とする．このとき，すべての$t>0$に対し，$A(t)=B(t)$が成り立つような関数$f(x)$を求めよ．