2019　東京大学　前期MathJax

【１】　座標平面の原点を$\mathrm{O}$とし，$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}$$(1,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(1,1)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,1)$を辺の長さが$1$の正方形の頂点とする．$3$点$\mathrm{P}$$(p,0)\text{，}$$\mathrm{Q}$$(0,q)\text{，}$$\mathrm{R}$$(r,1)$はそれぞれ辺$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{OC}\text{，}$$\mathrm{BC}$上にあり，$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$ぉよび$3$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$はどちらも面積が${\displaystyle \frac{1}{3}}$の三角形の$3$頂点であるとする．

(1)　$q$と$r$を$p$で表し，$p\text{，}q\text{，}r$それぞれのとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　${\displaystyle \frac{\mathrm{CR}}{\mathrm{OQ}}}$の最大値，最小値を求めよ．

【２】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面において，点$\mathrm{A}(2,2)$を通り，線分$\mathrm{OA}$と垂直な直線を$l$とする．座標平面上を点$\mathrm{P}(p,q)$が次の$2$つの条件を満たしながら動く．

条件１：$8\leqq \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}\leqq 17$

条件２：点$\mathrm{O}$と直線$l$の距離を$c$とし，点$\mathrm{P}(p,q)$と直線$l$の距離を$d$とするとき$cd\geqq {(p-1)}^2$

このとき，$\mathrm{P}$が動く領域を$D$とする．さらに，$x$軸の正の部分と線分$\mathrm{OP}$のなす角を$\theta$とする．

(1)　$D$を図示し，その面積を求めよ．

(2)　$\cos \theta$のとりうる値の範囲を求めよ．

【３】　正八角形の頂点を反時計回りに$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}\text{，}$$\mathrm{G}\text{，}$$\mathrm{H}$とする．また，投げたとき表裏の出る確率がそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{2}}$のコインがある．

　点$\mathrm{P}$が最初に点$\mathrm{A}$にある．次の操作を$10$回繰り返す．

操作：コインを投げ，表が出れば点$\mathrm{P}$を反時計回りに隣接する頂点に移動させ，裏が出れば点$\mathrm{P}$を時計回りに隣接する頂点に移動させる．

例えば，点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{H}$にある状態で，投げたコインの表が出れば点$\mathrm{A}$に移動させ，裏が出れば点$\mathrm{G}$に移動させる．

　以下の事象を考える．

事象$S$：操作を$10$回行った後に点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{A}$にある．

事象$T$：$1$回目から$10$回目の操作によって，点$\mathrm{P}$は少なくとも$1$回，点$\mathrm{F}$に移動する．

(1)　事象$S$が起こる確率を求めよ．

(2)　事象$S$と事象$T$がともに起こる確率を求めよ．

【４】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面を考える．不等式

$\left|x\right|+\left|y\right|\leqq 1$

が表す領域を$D$とする．また，点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$が領域$D$を動くとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}-\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$をみたす点$\mathrm{R}$が動く範囲を$E$とする．

(1)　$D\text{，}E$をそれぞれ図示せよ．

(2)　$a\text{，}b$を実数とし，不等式

$|x-a|+|y-b|\leqq 1$

が表す領域を$F$とする．また，点$\mathrm{S}\text{，}\mathrm{T}$が領域$F$を動くとき，$\overrightarrow{\mathrm{OU}}=\overrightarrow{\mathrm{OS}}-\overrightarrow{\mathrm{OT}}$をみたす点$\mathrm{U}$が動く範囲を$G$とする．$G$は$E$と一致することを示せ．

【１】　次の定積分を求めよ．

${\displaystyle {\int }_0^1}(x^2+{\displaystyle \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}})(1+{\displaystyle \frac{x}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}})dx$

【２】　一辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$を考える．$3$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$はそれぞれ辺$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{AD}\text{，}$$\mathrm{CD}$上にあり，$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$および$3$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$はどちらも面積が${\displaystyle \frac{1}{3}}$の三角形の$3$頂点であるとする．

　${\displaystyle \frac{\mathrm{DR}}{\mathrm{AQ}}}$の最大値，最小値を求めよ．

【３】　座標空間内に$5$点$\mathrm{A}$$(2,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,2,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(-2,0,0)\text{，}$$\mathrm{D}$$(0,-2,0)\text{，}$$\mathrm{E}$$(0,0,-2)$を考える．線分$\mathrm{AB}$の中点$\mathrm{M}$と線分$\mathrm{AD}$の中点$\mathrm{N}$を通り，直線$\mathrm{AE}$に平行な平面を$\alpha$とする．さらに，$p$は$2<p<4$をみたす実数とし，点$\mathrm{P}(p,0,2)$を考える．

(1)　八面体$\mathrm{PABCDE}$の平面$y=0$による切り口および，平面$\alpha$の平面$y=0$による切り口を同一平面上に図示せよ．

(2)　八面体$\mathrm{PABCDE}$の平面$\alpha$による切り口が八角形となる$p$の範囲を求めよ．

(3)　実数$p$が(2)で定まる範囲にあるとする．八面体$\mathrm{PABCDE}$の平面$\alpha$による切り口のうち$y\geqq 0\text{，}z\geqq 0$の部分を点$(x,y,z)$が動くとき，座標平面上で点$(y,z)$が動く範囲の面積を求めよ．

【４】　$n$を$1$以上の整数とする．

(1)　$n^2+1$と$5n^2+9$の最大公約数$d_n$を求めよ．

(2)　$(n^2+1)(5n^2+9)$は整数の$2$乗にならないことを示せ．

【５】　以下の問いに答えよ．

(1)　$n$を$1$以上の整数とする．$x$についての方程式

$x^{2n-1}=\cos x$

は，ただ一つの実数解$a_n$をもつことを示せ．

(2)　(1)で定まる$a_n$に対し，$\cos a_n>\cos 1$を示せ．

(3)　(1)で定まる数列$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3\text{，}\cdots \text{，}{a}_n\text{，}\cdots$に対し，

$a=\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n\text{，}$$b=\underset{n\to \infty }{\lim }{a_n}^n\text{，}$$c=\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{{a_n}^n-b}{a_n-a}}$

を求めよ．

【６】　複素数$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma \text{，}\delta$および実数$a\text{，}b$が，次の$3$条件をみたしながら動く．

条件１：$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma \text{，}\delta$は相異なる．

条件２：$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma \text{，}\delta$は$4$次方程式$z^4-2z^3-2az+b=0$の解である．

条件３：複素数$\alpha \beta +\gamma \delta$の実部は$0$であり，虚部は$0$でない．

(1)　$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma \text{，}\delta$のうち，ちょうど$2$つが実数であり，残りの$2$つは互いに共役な複素数であることを示せ．

(2)　$b$を$a$で表せ．

(3)　複素数$\alpha +\beta$がとりうる範囲を複素数平面上に図示せよ．