2019　埼玉大学　後期（理，工学部）MathJax

$f_n(x)=\sqrt{n+1}{\sin }^{n}x\cos x$$(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

この関数が最大値をとるときの$x$の値を$x_n$とおく．次の問いに答えよ．

(1)　$\sin x_n$と$f_n(x_n)$を求めよ．

(2)　$f_{n+1}(x_{n+1})=f_n(x_{n+1})$を示せ．

(3)　$f_{n+1}(x_{n+1})\leqq f_n(x_n)$を示せ．

(4)　$a_n={(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^n$に対して，$a_n\leqq a_{n+1}$を示せ．

(5)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(x_n)$を求めよ．

(1)　複素数平面上に点$\mathrm{A}$が描く図形と点$\mathrm{B}$が描く図形を図示せよ．

(2)　$z=\cos \theta +i\sin \theta$$\text{（}0\leqq \theta <2\pi \text{）}$とおく．$S$を，$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$が一直線上にないときは三角形$\mathrm{ABC}$の面積とし，$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$が一直線上にあるときは$0$とする．$S$を$\theta$の式で表せ．

(3)　(2)における$S$を最大にする$z$の値と，そのときの$S$の値を求めよ．

最初に点$\mathrm{P}$は原点にある．操作を$n$回続けたときの点$\mathrm{P}$の経路の総数を$S_n$とおく．ただし，点$\mathrm{P}$は同じ座標を$2$度以上通ることができないとする．また，$n$回目の操作が(U)，(R)，(L)である点$\mathrm{P}$の経路の総数をそれぞれ$u_n\text{，}$$r_n\text{，}$$l_n$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$S_1\text{，}$$S_2\text{，}$$S_3$を求めよ．

(2)　$S_n$を$u_n$と$r_n$を用いて表せ．

(3)　$n\geqq 2$のとき，$u_n$を$u_{n-1}$と$r_{n-1}$を用いて表し，また，$r_n$を$u_{n-1}$と$r_{n-1}$を用いて表せ．

(4)　$n\geqq 3$のとき，

$S_n-2S_{n-1}-S_{n-2}=0$

が成り立つことを示せ．

(5)　$n\geqq 1$に対して

$S_n={\displaystyle \frac{1}{2}}\{{(1+\sqrt{2})}^{n+1}+{(1-\sqrt{2})}^{n+1}\}$

が成り立つことを数学的帰納法を用いて示せ．

(1)　${\displaystyle {\int }_0^1}{x}^4{(1-x)}^4\mathit{dx}$を求めよ．

(2)　${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}\mathit{dx}$を求めよ．

(3)　${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{x^4{(1-x)}^4}{1+x^2}}\mathit{dx}$を求めよ．

(4)　不等式

${\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle {\int }_0^1}{x}^4{(1-x)}^4\mathit{dx}\leqq {\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{x^4{(1-x)}^4}{1+x^2}}\mathit{dx}$$\leqq {\displaystyle {\int }_0^1}{x}^4{(1-x)}^4\mathit{dx}$

が成り立つことを示し，それを用いて

$3.14<\pi <3.15$

を示せ．