2019　埼玉大学　前期（理，工学部）MathJax

(1)　実数$x\text{，}$$y$が${(x-3)}^2+{(y-3)}^2=8$を満たすとき，$x+y$と$xy$のとりうる値の範囲をそれぞれ求めよ．

(2)　$\alpha \text{，}$$\beta$は${(\alpha -3)}^2+{(\beta -3)}^2=8$かつ$\alpha <\beta$を満たす実数とする．また，$\alpha \text{，}$$\beta$は$2$次方程式$x^2-kx+{\displaystyle \frac{5}{2}}=0$の$2$つの解であるとする．このとき$k\text{，}$$\alpha \text{，}$$\beta$を求めよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$t\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(2)　ベクトルの大きさ$\left|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\right|$と内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$t$を用いて表せ．

(3)　三角形$\mathrm{OAQ}$の面積を$S(t)$とする．$S(t)$を求めよ．

(4)　面積$S(t)$を最小にする$t$の値$t_0$と，最小の面積$S(t_0)$を求めよ．

$a_n={\displaystyle \sum _{j=1}^{2n}}{\displaystyle \frac{{(-1)}^{j-1}}{j}}={\displaystyle \frac{1}{1}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}$$+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{2n-1}}-{\displaystyle \frac{1}{2n}}$

$b_n={\displaystyle \sum _{j=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{n+j}}$

により定める．次の問いに答えよ．

(1)　$b_1\text{，}$$b_2\text{，}$$b_3$を求めよ．

(2)　$a_n=b_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$を示せ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

$f(x)={\displaystyle \frac{\log x}{x^2}}$$g(x)=a\log x$

を考える．次の問いに答えよ．必要ならば$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log x}{x}}=0$を用いてよい．

(1)　関数$f(x)$の増減，凹凸を調べ，$y=f(x)$のグラフの概形を$xy$平面に描け．

(2)　曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$で囲まれた部分の面積を$S(a)$とする．$S(a)$を求めよ．

(3)　$\underset{a\to +0}{\lim }S(a)$を求めよ．