2019　埼玉大学　前期（経済，教育学部）MathJax

【１】　$xy$平面上に，中心が点$\mathrm{C}$$(s,0)$$\text{（}s<4\text{）}$で半径$2$の円$C_1$と，$x$軸上の点$\mathrm{Q}$$(8,0)$がある．円$C_1$上の点$\mathrm{P}$$(a,b)$$\text{（}a>s\text{，}$$b>0\text{）}$から引いた接線$l$と$x$軸との交点を$\mathrm{T}$とする．点$\mathrm{T}$が点$\mathrm{C}$と点$\mathrm{Q}$の間にあるとき，以下の問いに答えよ．

(1)　接線$l$の方程式を$a\text{，}$$b$および$s$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{Q}$から接線$l$に引いた垂線と$l$との交点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{QR}=2$のとき，$a$および$b$を$s$を用いて表せ．

(3)　$\mathrm{QR}=2\text{，}$$s=3$のとき，$\mathrm{▵QRT}$の面積$W$を求めよ．

【２】　$3$本の直線$2x+3y=6n$（$n$は自然数），$x=0\text{，}$および$y=0$で囲まれる三角形の周および内部にあるすべての格子点の総数を求めよ．なお，格子点とは$x$座標および$y$座標が整数である点のことである．

【３】　関数$f(x)$を，

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\log }_{2}x& \text{（}x>0\text{のとき）}\\ 2^x-2^{-1}& \text{（}x\leqq 0\text{のとき）}\end{array}$

とおく．また，数列$\{a_n\}$を，

$\{\begin{array}{ll}{a}_1=a& \text{（}a\text{は実数）}\\ a_{n+1}=f(a_n)& \end{array}$

と定める．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$a=16$のとき$a_7$を求めよ．

(2)　$a\leqq -1$のとき，$-{\displaystyle \frac{5}{2}}<a_4\leqq -1$であることを証明せよ．

【４】　$n$個の玉に，$1$個ずつ順番に$1$から$n$までの番号が書かれているとする．これらの玉を，$k$個の箱（$0<k\leqq n$）に入れる場合の数を$S_n(k)$とする．ただし，箱同士の区別はつかないものとし，どの箱にも$1$個以上の玉を入れるものとする．$n>2$のとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$S_n(2)$を求めよ．

(2)　$S_n(n-2)$を求めよ．