2019　群馬大学　推薦教育学部小論文MathJax

【１】　実数$t$$(0\leqq t<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$に対し，座標平面上の点$P(t)$と点$Q(t)$を次のように定める．

・点$P(t)$は中心が原点，半径が$2$の円周上にある．$P(0)=(\sqrt{2},\sqrt{2})$とし，$P(t)$は$P(0)$と$P(t)$を結ぶ弧の長さが$2t$となる点とする．ただし，$t$が増加するとき，$P(t)$は反時計回りに動くものとする．

・点$Q(t)$は直線$y=-x$上にあり，原点からの距離が$1+t$で，第$2$象限にある．

次の問に答えよ．

(1)　$P(t)$と$Q(t)$の座標を$t$を用いて表せ．

(2)　原点と$P(t)\text{，}$$Q(t)$を頂点とする三角形の面積$f(t)$を求めよ．

(3)　$f(t)$を最大にする$t$の値がただ一つあることを示せ．

【２】　$\mathrm{▵OAB}$において，辺$\mathrm{OA}$と辺$\mathrm{OB}$の長さの比が$2:3$であるとする．辺$\mathrm{OA}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$ 辺$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{Q}\text{，}$辺$\mathrm{BO}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．線分$\mathrm{OQ}$と線分$\mathrm{AR}$の交点を$\mathrm{X}\text{，}$線分$\mathrm{AR}$と線分$\mathrm{BP}$の交点を$\mathrm{Y}\text{，}$線分$\mathrm{BP}$と線分$\mathrm{OQ}$の交点を$\mathrm{Z}$とする．$\mathrm{▵XYZ}$が直角三角形になるかどうかを調べよ．