2019　群馬大学　前期MathJax

【１】　$2$次関数$y=-x^2+ax+b$のグラフ$F$は$2$点$(-2,-7)\text{，}$$(2,1)$を通り，$1$次関数$y=cx+d$のグラフ$G$は$F$に接する．このとき次の問に答えよ．

(1)　定数$a\text{，}$$b$の値を求めよ．

(2)　定数$d$を$c$の式で表せ．

(3)　$F$を$2$次関数$y=-x^2$のグラフに重ねる平行移動によって，$G$が$G$自身に重なるとき，定数$c\text{，}$$d$の値を求めよ．

(4)　(3)で定めた$G$と，$F$および直線$x=k$で囲まれる部分の面積が$9$になるとき，定数$k$の値を求めよ．

【２】　$1$辺の長さが$2a$$\text{（}a>0\text{）}$の正方形の折り紙がある．図のように，この折り紙から底角$\theta$$\text{（}0\mathrm{°}<\theta <45\mathrm{°}\text{）}$の二等辺三角形を$4$つ切り取り（図の斜線部分），切り取った残りの図形を組み立てて，正方形$\mathrm{ABCD}$を底面とする四角錐を作る．次の問に答えよ．

(1)　切り取る二等辺三角形の$1$つ分の面積を$a$と$\theta$で表せ．

(2)　組み立てた四角錐の高さを$a$と$\theta$で表せ．

(3)　$\tan \theta ={\displaystyle \frac{1}{3}}$とするとき，組み立てた四角錐に内接する球の半径を$a$で表せ．

【３】　次の$2$条件によって定められる数列$\{a_n\}$がある．

1.　$a_1>0\text{，}$$a_{n+1}\ne a_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$

2.　初項$a_1$から第$n$項$a_n$までの和を$S_n$とするとき，$S_n={a_n}^2+n{a}_n-4$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$

このとき次の問に答えよ．

(1)　初項$a_1$を求めよ．

(2)　$b_n=a_{2n-1}\text{，}$$c_n=a_{2n}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$とするとき，数列$\{b_n\}\text{，}$$\{c_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ．

(3)　$a_k=0$を満たす$k$を求めよ．

編注：社会情報学部では(2)の末尾が「の一般項を求めよ．」

【４】　原点を中心とする半径$\sqrt{3}$の円$C_1$と媒介変数$\theta$を用いて$x={\displaystyle \frac{1}{\cos \theta }}\text{，}$$y=\tan \theta$$(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$で表される曲線$C_2$について，次の問に答えよ．

(1)　$C_1$と$C_2$の交点で，第$1$象限にあるものの座標を求めよ．

(2)　(1)で求めた交点における$C_2$の接線の方程式を求めよ．

(3)　$C_1$と$C_2$で囲まれた原点を含まない図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

【５】　座標空間において原点$\mathrm{O}\text{，}$点$\mathrm{A}$$(1,-2,2)\text{，}$点$\mathrm{B}$$(3,-4,5)$をとり，$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$が定める平面を$\alpha$とする．このとき次の問に答えよ．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と同じ向きの単位ベクトル$\overrightarrow{e}$を成分表示せよ．

(2)　平面$\alpha$上に点$\mathrm{F}$をとる．$\mathrm{F}$の位置ベクトル$\overrightarrow{f}$は$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と垂直な単位ベクトルであり，$\overrightarrow{f}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角$\theta$は不等式$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たしている．このとき点$\mathrm{F}$の座標を求めよ．

(3)　点$\mathrm{P}$$(0,0,2)$の位置ベクトルを$\overrightarrow{p}$とおく．$s\text{，}$$t$がそれぞれ実数全体を動くとき，$|\overrightarrow{p}-(s\overrightarrow{e}+t\overrightarrow{f})|$の最小値を求めよ．

【１】　$2$次関数$y=a{x}^2+b+1$のグラフ$F$は$2$点$(-2,-7)\text{，}$$(2,1)$を通り，直線$l$は点$(0,1)$で$F$に接する．このとき次の問に答えよ．

(1)　定数$a\text{，}$$b$の値を求めよ．

(2)　直線$l$の方程式を求めよ．

(3)　$F\text{，}$$l$および直線$x=k$で囲まれる部分の面積が$9$になるとき，定数$k$の値を求めよ．

【２】　$1$辺の長さが$2a$$\text{（}a>0\text{）}$の正方形の折り紙がある．図のように，この折り紙から底角$\theta$$\text{（}0\mathrm{°}<\theta <45\mathrm{°}\text{）}$の二等辺三角形を$4$つ切り取り（図の斜線部分），切り取った残りの図形を組み立てて，正方形$\mathrm{ABCD}$を底面とする四角錐を作る．次の問に答えよ．

(1)　切り取る二等辺三角形の$1$つ分の面積を$a$と$\theta$で表せ．

(2)　組み立てた四角錐の高さを$a$と$\theta$で表せ．

【４】　実数$p$に対し，$X={\displaystyle \frac{p-4}{6}}\text{，}$$Y={\displaystyle \frac{p}{2}}\text{，}$$Z={\displaystyle \frac{p-1}{3}}$とする．このとき次の問に答えよ．

(1)　$X\text{，}$$Y$を$Z$で表し，$X^3+Y^3+Z^3$を$Z$の多項式で表せ．

(2)　$p$の恒等式として${\displaystyle \frac{9}{2}}{Z}^3=X{p}^2+aYp+bZ+c$を満たす実数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を求めよ．

(3)　$X^3+Y^3+Z^3=X{p}^2+Yp+Z$となることを示せ．

(4)　${16}^3+{50}^3+{33}^3$を求めよ．

【５】　座標空間において原点$\mathrm{O}\text{，}$点$\mathrm{A}$$(1,-2,2)\text{，}$点$\mathrm{B}$$(3,-4,5)$をとり，$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$が定める平面を$\alpha$とする．このとき次の問に答えよ．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と同じ向きの単位ベクトル$\overrightarrow{e}$を成分表示せよ．

(2)　平面$\alpha$上に点$\mathrm{F}$をとる．$\mathrm{F}$の位置ベクトル$\overrightarrow{f}$は$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と垂直な単位ベクトルであり，$\overrightarrow{f}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角$\theta$は不等式$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たしている．このとき点$\mathrm{F}$の座標を求めよ．

【２】　次の問に答えよ．

(1)　$x={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$$y={\displaystyle \frac{1}{8}}$のとき，${\log }_{x}y$の値を求めよ．

(2)　$x\text{，}$$y$が正の数で，${\log }_{x}y=t$とするとき，${\log }_{x}y+{\log }_y{\displaystyle \frac{x^3}{y^4}}$を$t$で表せ．

(3)　連立不等式

$0<x<1\text{，}$$0<y<1\text{，}$${\log }_{x}y+{\log }_y{\displaystyle \frac{x^3}{y^4}}<0$

の表す領域を，$xy$平面上に図示せよ．ただし，この領域で${\log }_{x}y>0$が成り立つことを用いてよいとする．

【１】　次の問に答えよ．

(1)　$x\text{，}$$y$が正の数で，${\log }_{x}y=t$とするとき，${\log }_y{\displaystyle \frac{x^3}{y^4}}$を$t$で表せ．

(2)　連立不等式

$0<x<1\text{，}$$0<y<1\text{，}$${({\log }_{x}y)}^2+{\log }_y{\displaystyle \frac{x^3}{y^4}}\leqq 0$

の表す領域を，$xy$平面上に図示せよ．

【２】　$i$を虚数単位とし，$f(z)={\displaystyle \frac{z-1}{z+1+i}}$とする．複素数$z_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$は

$z_1=i\text{，}$$z_{n+1}=f(z_n)$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$

を満たしているとする．このとき次の問に答えよ．

(1)　虚部が正となる複素数$\alpha$で$f(\alpha )=\alpha$となるものを求めよ．

(2)　$n$が奇数のとき，$z_n$は虚部が正である純虚数であることを示せ．

(3)　$\left|z_n\right|$を$z_n$の絶対値とするとき，数列$\{|z_n|\}$の極限を求めよ．

【３】　関数$f(x)$を

$f(x)=\{\begin{array}{ll}1& \text{（}x=0\text{）}\\ {\displaystyle \frac{\sin x}{e^x-1}}& \text{（}x\ne 0\text{）}\end{array}$

で定義する．次の問に答えよ．

(1)　正の実数$x$に対して，$x^2\text{，}$${(e^x-1)}^2\text{，}$$2(x{e}^x-e^x+1)$の間の大小関係を求めよ．

(2)　$f(x)$が$x=0$で微分可能であることを示せ．

(3)　$x=0$における$f(x)$の微分係数を求めよ．

【４】　原点を中心とする半径$2$の円$C_1$と極方程式$r^2\cos 2\theta =1$$(-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$の表す曲線$C_2$について，次の問に答えよ．

(1)　$C_2$を直交座標に関する方程式で表せ．

(2)　$C_1$と$C_2$で囲まれた原点を含まない図形を直線$y=-x$のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

【５】　座標空間において原点$\mathrm{O}\text{，}$点$\mathrm{A}$$(1,-2,2)\text{，}$点$\mathrm{B}$$(3,-4,5)$をとり，$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$が定める平面を$\alpha$とする．このとき次の問に答えよ．

(1)　平面$\alpha$上に点$\mathrm{F}$をとる．$\mathrm{F}$の位置ベクトル$\overrightarrow{f}$は$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と垂直な単位ベクトルであり，$\overrightarrow{f}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角$\theta$は不等式$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たしている．このとき点$\mathrm{F}$の座標を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$$(0,0,2)$の位置ベクトルを$\overrightarrow{p}$とおく．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と同じ向きの単位ベクトルを$\overrightarrow{e}$とし，$s\text{，}$$t$がそれぞれ実数全体を動くとき，$|\overrightarrow{p}-(s\overrightarrow{e}+t\overrightarrow{f})|$の最小値を求めよ．