2019　宇都宮大学　教育学部数学分野推薦小論文MathJax

【１】　関数$f(x)$は等式

$f(x)=3x^2+2{\displaystyle {\int }_{-1}^0}xf(t)\mathit{dt}+{\displaystyle {\int }_{-1}^1}f(t)\mathit{dt}$

を満たす．このとき，次の問いに答えよ．

問１　関数$f(x)$を求めよ．

問２　定積分${\displaystyle {\int }_{\frac{1}{2}}^x}f(t)\mathit{dt}$を求めよ．

問３　$F(x)={\displaystyle {\int }_{\frac{1}{2}}^x}f(t)\mathit{dt}-{\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．関数$y=F(x)$の増減を調べ，グラフの概形をかけ．

【２】　次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$がある．

$a_1=3\text{，}$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{{(a_n)}^2-4}{2n-1}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

このとき，次の問いに答えよ．

問１　$a_2\text{，}$$a_3\text{，}$$a_4\text{，}$$a_5$を求めよ．

問２　問１の結果から，第$n$項$a_n$を表す式を推測せよ．

問３　問２で推測した結果を数学的帰納法によって証明せよ．

問４　$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$とするとき，$S_n$の値が$23$の倍数となる最小の$n$を求めよ．

【３】　三角形$\mathrm{OAB}$において，$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とする．$\mathrm{AM}$の長さが$3\text{，}$$\mathrm{OM}$の長さが$5\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．

問１　$\overrightarrow{\mathrm{AM}}$および$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$をそれぞれ，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

問２　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ．

問３　線分$\mathrm{OM}$上の点$\mathrm{P}$が$\mathrm{AP}\perp \mathrm{BP}$を満たすとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

【４】　中学校第$1$学年の数学における「資料の活用」の学習では代表値を学ぶ．次の問いに答えよ．

問１　$3$つの代表値（平均値，中央値，最頻値）のそれぞれの定義を述べよ．

問２　資料の特徴の分析において，代表値を用いることの意義と代表値の用い方の留意点を，具体例を挙げて$600$字以内で述べよ．