2019　岩手大学　後期理工学部MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　定積分${\displaystyle {\int }_0^3}{\displaystyle \frac{x}{{(4-x)}^3}}dx$を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　次の極限値を求めよ．

$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{3x^2-1}{2x+1}}\sin {\displaystyle \frac{2}{x}}$

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　次の関数について，導関数$y^{\prime }$を求めよ．

$y={\displaystyle \frac{3\tan x}{3{\tan }^{2}x+1}}$

　さらに，$y^{\prime }=0$を満たす$x$を求めよ．ただし，$0\leqq x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　原点を中心とする半径$1$の円周上を動く点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$と直線$y=x-2$の距離$d$の最小値を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(2)　座標空間において，点$\mathrm{A}$$(9,7,1)$を通り，ベクトル$\overrightarrow{u}=(1,3,0)$に平行な直線が，点$\mathrm{Q}$$(5,0,1)$を中心とした半径$5$の球と$2$点で交わっている．この$2$点の座標を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(3)　$3$つの数${\log }_{2}13\text{，}$${\log }_{4}173\text{，}$${\displaystyle \frac{7}{2}}$の大小関係を調べ，小さい順に並べよ．

【３】　円$C_1$の面積を$a_1=1$として，次の問いに答えよ．

(1)　円$C_1$に内接する正三角形を作り，その正三角形に内接する円$C_2$を作る．円$C_2$の面積$a_2$を求めよ．

(2)　設問(1)と同様に，円$C_1$に内接する正三角形を作り，その正三角形に内接する円$C_2$を作る．次に，円$C_2$に内接する正三角形を作り，その正三角形に内接する円$C_3$を作る．このようにして，次々と円$C_2\text{，}$$C_3\text{，}$$C_4\text{，}$$\cdots$を作っていき，それぞれの面積を$a_2\text{，}$$a_3\text{，}$$a_4\text{，}$$\cdots$とする．これらの円の面積について次の無限級数の和$S$を求めよ．

$S=a_1+a_2+a_3+\cdots$

(3)　$p$を$3$以上の整数とする．円$C_1$に内接する正$p$角形を作り，さらにその正$p$角形に内接する円$C_2$を作る．次に円$C_2$に内接する正$p$角形を作り，その正$p$角形に内接する円$C_3$を作る．このようにして，次々と円$C_2\text{，}$$C_3\text{，}$$C_4\text{，}$$\cdots$を作っていき，それぞれの面積を$a_2\text{，}$$a_3\text{，}$$a_4\text{，}$$\cdots$とする．このとき，面積$a_2$を$p$を含む式で表せ．さらに，次の無限級数の和$S$を$p$を含む式で表せ．

$S=a_1+a_2+a_3+\cdots$