2019　岩手大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$0\leqq x\leqq 2\pi$のとき，$\sin 2x=\cos x$を満たす$x$をすべて求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　座標平面において，直交する$2$直線

$l\text{；}5\sqrt{3}x-7y-12=0\text{，}$$m\text{：}7x+5\sqrt{3}y+53=0$

の交点を$\mathrm{A}$とし，点$(35,25\sqrt{3})$を$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{B}$から直線$l$におろした垂線の足を$\mathrm{C}\text{，}$点$\mathrm{B}$から直線$m$におろした垂線の足を$\mathrm{D}$とするとき，長方形$\mathrm{ACBD}$の面積を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　自然数$n$に対し，$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}k(3k-2)$とするとき，$S_n$が$32$の倍数となるような最小の$n$の値を求めよ．

【２】　四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおき，

$\left|\overrightarrow{a}\right|=2\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=1\text{，}$$\left|\overrightarrow{c}\right|=3\text{，}$

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}=1$

とする．線分$\mathrm{OA}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，線分$\mathrm{BC}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．ただし，$t$は$0<t<1$を満たす実数とする．さらに，線分$\mathrm{PQ}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{R}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$と$t$を用いて表せ．

(2)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{OR}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{BR}}\right|$のとき，$t$の値を求めよ．

(3)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{OR}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{BR}}\right|$のとき，三角形$\mathrm{OBR}$の面積を求めよ．

【３】　次のような$3$つのサイコロがある．

このとき，次の問いに答えよ．

(1)　サイコロ$\mathrm{A}$とサイコロ$\mathrm{B}$を同時に振ったとき，$2$つの出た目が等しい確率を求めよ．

(2)　サイコロ$\mathrm{B}$とサイコロ$\mathrm{C}$を同時に振ったとき，$2$つの出た目の積が$3$の倍数となる確率を求めよ．

(3)　$3$つのサイコロ$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を同時に振ったとき，$3$つの出た目がすべて$3$以上である確率を求めよ．

(4)　$3$つのサイコロ$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を同時に振ったとき，$3$つの出た目の最小値が$3$である確率を求めよ．

【４】　関数$f(x)=-4x^3+3x+1$に対し，曲線$y=f(x)$を$C$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　区間$-1\leqq x\leqq 2$における$f(x)$の最大値および最小値を求めよ．

(2)　曲線$C$上の点のうち，(1)で求めた最小値を$y$座標とする点を$\mathrm{P}$とする．また，曲線$C$と$x$軸の接点を$\mathrm{Q}$とする．曲線$C$と線分$\mathrm{PQ}$で囲まれた図形を$x$軸で$2$つに分けたとき，$x$軸より下側の部分の面積を求めよ．

【５】　関数$f(x)=(x-{\displaystyle \frac{1}{3}})\sqrt{x}$$\text{（}x>0\text{）}$について，次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$の最小値を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$$\text{（}1\leqq x\leqq 16\text{）}$の長さを求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　座標平面において，点$\mathrm{Q}$$(0,2)$を中心とした半径$r$の円に，原点$\mathrm{O}$を通る傾き$m$の直線が接している．半径$r$の範囲が$0<r<2$であるとき，$m$を$r$で表せ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　$a\text{，}$$b$は$0\leqq a<b$である定数とする．関数$y=(x-b)\sqrt{2x-a}$について，次の問いに答えよ．

(ア)　$y=0$となる$x$の値を$x_1\text{，}$$x_2$とする．ただし，$x_1<x_2$であるものとして$x_1\text{，}$$x_2$を求めよ．

(イ)　$y^{\prime }=0$となる$x$の値を$x_3$とする．$x_3$を求めよ．

(ウ)　$x_3$は，$x_1$と$x_2$のどちらにより近いか調べよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_{-2}^1}{(x+|x|+2)}^{2}dx$を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(4)　初項が$1$で公比が$2$の等比数列$\{a_n\}$の初項から第$10$項までの和$S_{10}$を求めよ．さらに，得られた十進数を二進数で表せ．

【２】　曲線$C\text{：}y=e^{-3x}$上の点$\mathrm{A}$$(a,e^{-3a})$における接線を$l$とする．$a>0$のとき，次の問いに答えよ．

(1)　接線$l$の方程式を$a$を用いて表せ．

(2)　接線$l$と$x$軸，$y$軸によって囲まれる三角形の面積$S$を$a$を用いて表せ．

(3)　設問(2)で求めた面積$S$の最大値と，それを与える点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．

【３】　以下の問いに答えよ．

(1)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{\sin }^{2}xdx$を求めよ．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}x\sin xdx$を求めよ．

(3)　関数$y=\pi x+\sin \pi x$について，$0\leqq x\leqq 1$の範囲の増減表を作成し，この範囲のグラフをかけ．

(4)　曲線$y=\pi x+\sin \pi x$と$x$軸および直線$x=1$で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．

【４】　平面上に相異なる$3$点$\mathrm{A}(\overrightarrow{a})\text{，}$$\mathrm{B}(\overrightarrow{b})\text{，}$$\mathrm{C}(\overrightarrow{c})$があり，それらは同一直線上にはないものとする．次の問いに答えよ．

(1)　線分$\mathrm{BC}$の中点$\mathrm{P}$の位置ベクトル$\overrightarrow{p}$をベクトル$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．また，線分$\mathrm{BC}$を$2:1$に外分する点$\mathrm{Q}$の位置ベクトル$\overrightarrow{q}$をベクトル$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(2)　線分$\mathrm{AP}$を$(1+t):t$に外分する点$\mathrm{R}$の位置ベクトル$\overrightarrow{r}$を$t$と$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．ただし，$t>0$とする．

(3)　線分$\mathrm{QR}$が線分$\mathrm{AB}$と平行であるときの$t$を求めよ．ただし，点$\mathrm{C}$を原点（すなわちベクトル$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$）とする．

(4)　設問(3)において，$\mathrm{▵ABC}$の面積が$1$であるときの$\mathrm{▵PQR}$の面積を求めよ．

【５】　絶対値が$1$で偏角が${\displaystyle \frac{\pi }{5}}$の複素数$z$について，次の問いに答えよ．

(1)　$z^5\text{，}$$z^{10}$をそれぞれ求めよ．

(2)　$1+z+z^2+z^3+\cdots +z^8+z^9$を求めよ．

(3)　$z^4-z^3+z^2-z$を求めよ．

【５】　ある細菌は，環境$\mathrm{A}$においては$1$時間ごとに$3$倍に数が増え，環境$\mathrm{B}$においては$1$時間ごとに$5$倍に数が増える．この細菌の数を$1$時間ごとに計測する実験を行う．${\log }_{10}2=0.3010\text{，}$${\log }_{10}3=0.4771$として，次の問いに答えよ．

(1)　実験開始時にこの細菌$30$個を環境$\mathrm{A}$におくとき，細菌の数が$3\times {10}^{12}$個を初めて超えるのは，実験開始から何時間後に計測するときか．

(2)　実験開始時にこの細菌$30$個を環境$\mathrm{A}$におく．実験開始から$n$時間が経過した直後に環境$\mathrm{B}$に切り替えて，実験開始から$18$時間後に計測したときの細菌の数が$3\times {10}^{12}$個を超えるようにしたい．この条件を満たすような自然数$n$の最大値を求めよ．（ただし，環境の切り替えにかかる時間は無視するものとする．）