2019　弘前大学　後期理工学部MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$I_n={\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{{(-x)}^n}{1+x}}dx$$\text{（}n=0\text{，}$$1\text{，}$$\cdots \text{）}$とおく．次を求めよ．

(ⅰ)　$I_n-I_{n+1}$

(ⅱ)　$I_5$

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　次の極限を求めよ．

$\underset{h\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{2\cos x-\cos (x+h)-\cos (x-h)}{h^2}}$　

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　$x>0$において，次の不等式が成り立つことを示せ．

(ⅰ)　${\displaystyle \frac{4}{{(x+2)}^2}}<{\displaystyle \frac{1}{1+x}}<{\displaystyle \frac{x+2}{2{(x+1)}^{\frac{3}{2}}}}$

(ⅱ)　${\displaystyle \frac{2x}{x+2}}<\log (1+x)<{\displaystyle \frac{x}{\sqrt{x+1}}}$

(2)　次の極限を求めよ．

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n^3}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{{\{\log (1+{\displaystyle \frac{1}{k}}\left)\right\}}^2}}$

【３】　$\alpha =\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{7}}+i\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{7}}$とする．ただし，$i$は虚数単位とする．次の問いに答えよ．

(1)　${\alpha }^7$を求めよ．

(2)　${\displaystyle \sum _{k=1}^6}{\alpha }^k$を求めよ．

(3)　${\beta }_1=\alpha +{\alpha }^6\text{，}$${\beta }_{n+1}={{\beta }_n}^2-2$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{）}$とおく．

${\beta }_1+{\beta }_2+\cdots +{\beta }_{99}$

を求めよ．