2019　弘前大学　前期MathJax

【１】　$a$を実数とする．方程式$4^x-2^{x+1}a+8a-15=0$について，次の問いに答えよ．

(1)　この方程式が実数解をただ$1$つもつような$a$の値の範囲を求めよ．

(2)　この方程式が異なる$2$つの実数解$\alpha \text{，}$$\beta$をもち，$\alpha \geqq 1$かつ$\beta \geqq 1$を満たすような$a$の値の範囲を求めよ．

【２】　初項が$1\text{，}$第$3$項が$7$である数列$\{a_n\}$に対して，$b_n={\log }_2(a_n+1)$とおく．$\{b_n\}$が等差数列であるとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　すべての自然数$n$に対して，不等式

${\displaystyle \frac{1}{a_2-a_1}}+{\displaystyle \frac{1}{a_3-a_2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}-a_n}}<1$

が成り立つことを示せ．

【３】　$\mathrm{▵ABC}$は半径$\sqrt{3}$の円$O$に内接し，$\cos B={\displaystyle \frac{11}{14}}\text{，}$$\cos C={\displaystyle \frac{13}{14}}$であるとする．ただし，$\mathrm{\angle A}\text{，}$$\mathrm{\angle B}\text{，}\mathrm{\angle C}$の大きさをそれぞれ$A\text{，}$$B\text{，}$$C$で表す．また，円$O$において，点$\mathrm{A}$を含まない方の弧$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{P}$をとる．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　辺$\mathrm{BC}$の長さと$\cos A$の値をそれぞれ求めよ．

(2)　四角形$\mathrm{ABPC}$の面積の最大値を求めよ．

【４】　次の問いに答えよ．

(1)　次の極限を求めよ．

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n^2}}\{\cos {\displaystyle \frac{\pi }{2n}}+2\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{2n}}+3\cos {\displaystyle \frac{3\pi }{2n}}$$+\cdots +(n-1)\cos {\displaystyle \frac{(n-1)\pi }{2n}}\}$

【４】　次の問いに答えよ．

(2)　$f(x)=\log |x^2-2x-1|$とする．

(ⅰ)　$f(x)=0$を満たす$x$の値を求めよ．

(ⅱ)　関数$y=f(x)$について増減，極値，$x$軸との交点，漸近線を調べて，グラフの概形をかけ．

【５】　複素数平面において，複素数$2\text{，}$$4i\text{，}$$z$を表す点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$とする．ただし，$i$は虚数単位とする．

(1)　$\mathrm{▵ABC}$が$\mathrm{\angle ABC}$を直角とする直角二等辺三角形となるように，複素数$z$の値を定めよ．

(2)　$\mathrm{▵ABC}$が正三角形となるように，複素数$z$の値を定めよ．

【６】　次の問いに答えよ．

(1)　$x>0$において，

$x\log x\geqq x-1$

となることを示せ．さらに，等号が成り立つときの$x$の値を求めよ．

(2)　$a\text{，}$$b$は定数で，$a>b>0$とする．$x>0$に対して，

$f(x){\left({\displaystyle \frac{a^x+b^x}{2}}\right)}^{\frac{1}{x}}$

$A(x)={\displaystyle \frac{2a^x}{a^x+b^x}}\text{，}$$B(x)={\displaystyle \frac{2b^x}{a^x+b^x}}$

とおく．

(ⅰ)　${\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}}={\displaystyle \frac{1}{2x^2}}\{A(x)\log A(x)+B(x)\log B(x)\}$となることを示せ．

(ⅱ)　$f(x)$は$x>0$において，増加することを示せ．

(ⅲ)　$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=a$を示せ．

【７】　楕円$E\text{：}{\displaystyle \frac{x^2}{25}}+{\displaystyle \frac{y^2}{16}}=1$の$2$つの焦点を$\mathrm{F}\text{，}$${\mathrm{F}}^{\prime }$とする．ただし，$\mathrm{F}$の$x$座標は正とする．点$\mathrm{P}(a,b)$は$E$上の点で$b\ne 0$とする．点$\mathrm{P}$における楕円$E$の接線を$l$とする．$\mathrm{F}$から$l$に下ろした垂線と$l$との交点を$\mathrm{H}$とし，${\mathrm{F}}^{\prime }$から$l$に下ろした垂線と$l$との交点を${\mathrm{H}}^{\prime }$とする．

(1)　線分$\mathrm{FH}\text{，}$${\mathrm{F}}^{\prime }{\mathrm{H}}^{\prime }$の長さを$a\text{，}$$b$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{▵PFH}$と$\mathrm{▵P}{\mathrm{F}}^{\prime }{\mathrm{H}}^{\prime }$は相似であることを示せ．

【８】　実数$k$は$0<k<1$を満たすとする．

(1)　$xy$平面上において不等式

$(y-k)(y-\log x)\leqq 0\text{，}$$1\leqq x\leqq e$

の表す領域を図示せよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(2)　(1)の領域を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積が最小になるときの$k$の値を求めよ．

【９】　$1\text{，}$$2\text{，}$$3$の数字がひとつずつ書かれた$3$個の玉を袋に入れる．「袋から玉を$1$個取り出し，その数字を記録してから袋に戻す」試行を$4$回行う．$k$回目に取り出した玉の数字を$X_k$とする．

(1)　積$X_1{X}_2{X}_3{X}_4$を$Y$とおく．$Y$が$12$の倍数になる確率を求めよ．

(2)　千の位が$X_1\text{，}$百の位が$X_2\text{，}$十の位が$X_3\text{，}$一の位が$X_4$となる$4$桁の数を$Z$とする．$Z$が$3$の倍数になる確率，および$Z$が$4$の倍数になる確率を求めよ．