2019　北見工業大学　後期MathJax

【１】　以下の(ⅰ)〜(ⅺ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(1)　${\log }_{3}9+{\log }_{9}27$$+{\log }_{27}3=\text{(ⅰ)}$

【１】　以下の(ⅰ)〜(ⅺ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(2)　$y=\sin \sqrt{x^2+1}$の導関数は$y^{\prime }=\text{(ⅱ)}$である．

【１】　以下の(ⅰ)〜(ⅺ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(3)　${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{x^{2018}}{x^{2019}+1}}\mathit{dx}=\text{(ⅲ)}$

【１】　以下の(ⅰ)〜(ⅺ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(4)　$2$つの集合

$X=\{n|n\text{は自然数，}1\leqq n\leqq 100\}\text{，}$$Y=\{n|n\text{は}21\text{と互いに素な自然数}\}$

の共通部分$X\cap Y$の要素の個数は$\text{(ⅳ)}$である．

【１】　以下の(ⅰ)〜(ⅺ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(5)　$\mathrm{CURLING}$の$7$文字のすべてを用いて作る順列を考える．このとき，両端が子音$\text{（}\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{L}\text{，}$$\mathrm{N}\text{，}$$\mathrm{G}\text{）}$であるような順列の総数は$\text{(ⅴ)}$である．

【１】　以下の(ⅰ)〜(ⅺ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(6)　${\displaystyle \sum _{k=1}^{2019}}{\displaystyle \frac{1}{k^2+5k+6}}=\text{(ⅵ)}$

【１】　以下の(ⅰ)〜(ⅺ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(7)　$0\leqq \theta \leqq \pi$とする．方程式$\sin \theta +\sin 2\theta$$+\sin 3\theta =0$の解は$\text{(ⅶ)}$である．

【１】　以下の(ⅰ)〜(ⅺ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(8)　$i$を虚数単位とする．複素数平面上で等式$|2iz-3|=4$を満たす点$z$の全体は中心$\text{(ⅷ)}\text{，}$半径$\text{(ⅸ)}$の円である．

【１】　以下の(ⅰ)〜(ⅺ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(9)　今日から次の日への天気の変化の確率が，右の表で与えられているとする．例えば，今日が「くもり」のとき，明日「雨」になる確率は$0.7$である．

　今日が「雨」のとき$2$日後（明後日）が「晴れ」となる確率は$\text{(ⅹ)}$である．

【１】　以下の(ⅰ)〜(ⅺ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(10)$\text{「}3\leqq x\leqq 5\text{」}$は$\text{「}|2x-6|\leqq x\text{」}$であるための$\text{(ⅺ)}\text{．}$

(a)　必要十分条件である

(b)　十分条件だが必要条件ではない

(c)　必要条件だが十分条件ではない

(d)　必要条件でも十分条件でもない

【２】　$a$を$0<a<1$を満たす実数とし，$f(x)=-x^2+1$とする．放物線$y=f(x)$を直線$x={\displaystyle \frac{a}{2}}$に関して対称移動してできる放物線を$y=g(x)$とし，$y=g(x)$を$y$軸に関して対称移動してできる放物線を$y=h(x)$とする．次の問に答えよ．

(1)　関数$h(x)$を求めよ．

(2)　$xy$平面で，$x$軸と$y=g(x)$で囲まれた図形を$D_1\text{，}$$x$軸と$y=h(x)$で囲まれた図形を$D_2$とし，$D=D_1\cup D_2$とする．$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を$a$を用いて表せ．

(3)　(2)で定めた$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$W$を$a$を用いて表せ．

【３】　座標空間の点$\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}(0,1,0)\text{，}$$\mathrm{C}(0,0,1)\text{，}$$\mathrm{P}(t,t,{\displaystyle \frac{t}{2}})$を考える．ただし，$t$は実数とする．次の問に答えよ．

(1)　ペクトル$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$の内積を$t$で表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{PA}}\perp \overrightarrow{\mathrm{PB}}$となる$t$の値を求めよ．

(3)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$のなす角を$\theta$$\text{（}0\leqq \theta \leqq \pi \text{）}$とする．$\theta$の最大値を与える$t$の値を求めよ．

(4)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の定める平面に点$\mathrm{P}$が含まれるとき，$t$の値を求めよ．

【４】　以下の文を読み，その中にある問に答えよ．

---

　$n$を自然数$\text{（}1$以上の整数）とし，$I_n=\{n,$$n+1,$$n+2,$$n+3,$$n+4,n+5\}$を，$n$から始まる$6$個の連続した自然数の集合とする．この$I_n$を$2$つの空集合ではない部分集合$A\text{，}$$B$に分割し，それぞれの部分集合に含まれる自然数の積を考える．より正確に述べると，次のようになる．

　$I_n$の分割$\{A,B\}$があると，$2$つの数$d(A)\text{，}$$d(B)$が定まる．

　例えば$n=3$の場合，$I_3=\{3,$$4,$$5,$$6,$$7,8\}$である．$A=\{3,$$6,8\}\text{，}$$B=\{4,$$5,7\}$という分割では，

$d(A)=3\cdot 6\cdot 8=144\text{，}$$d(B)=4\cdot 5\cdot 7=140$

である．$A=\{3,7\}\text{，}$$B=\{4,$$5,$$6,8\}$という分割では，

$d(A)=3\cdot 7=21\text{，}$$d(B)=4\cdot 5\cdot 6\cdot 8=960$

となる．

　例えば$n=17$の場合，$I_{17}=\{17,$$18,$$19,$$20,$$21,22\}$である．$A=\{17,$$18\text{,}$$21,22\}\text{,}$$B=\{19,20\}$という分割では，

$d(A)=17\cdot 18\cdot 21\cdot 22=141372\text{，}$$d(B)=19\cdot 20=380$

である．$A=\{17,$$20,22\}\text{，}$$B=\{18,$$19,21\}$という分割では，

$d(A)=17\cdot 20\cdot 22=7480\text{，}$$d(B)=18\cdot 19\cdot 21=7182$

となる．

　このように，いろいろな$n$について，$I_n$をいろいろなやり方で分割してみても，$d(A)$と$d(B)$が同じ数になることがない，ということに気がつく．実は，次の定理が成り立つ．

　以下ではこの定理を証明する．

定理の証明：

　証明は背理法で行う．つまり，この定理が成り立たないと仮定すると矛盾が生じる，ということを示す．

　この定理が成り立たないと仮定しよう．つまり，ある自然数$n$と，$I_n=\{n,$$n+1,$$n+2,$$n+3,$$n+4,n+5\}$のある分割$\{A,B\}$があって，$d(A)=d(B)$となるものが存在する．

　以下では，そのような$I_n\text{，}$$A\text{，}$$B$を考える．

　次の主張が成り立つ．

主張１の証明：この主張１を言いかえると，$I_n$の中のすべての自然数は，$7$以上の素数で割り切れることはない，あるいは，$7$以上の素数の倍数ではない，ということである．この主張を背理法で証明する．すなわち，$I_n$の中の$1$つの要素$n+k$$\text{（}0\leqq k\leqq 5\text{）}$が，ある$7$以上の素数$p$の倍数であると仮定する．矛盾が生じることを示せばよい．

　$p$の倍数は，連続した$p$個の自然数の中に$1$つしかない．$6<p$なので，連続した$6$個の自然数である$I_n$の中にも$p$の倍数は最大$1$つしかない．すなわち，$I_n$の中の$p$の倍数は$n+k$だけであり，$I_n$の他の数は$p$の倍数ではない．$n+k$は$A$と$B$のどちらかに含まれている．

　$n+k$が$A$に含まれているとすると，

　これは$d(A)=d(B)$であることに矛盾する．$n+k$が$B$の方に含まれている場合も同様に矛盾が生じる．［主張１の証明終り］

　このことから，$I_n$の中のすべての数は$2\text{，}$$3\text{，}$$5$のみを素因数に持つことがわかった．

　さらに，次のことがわかる．

主張２の証明：これも背理法で証明する．この主張が成り立たないと仮定すると，ある$n+k$ $\text{（}1\leqq k\leqq 4\text{）}$で，$5$の倍数となるものが存在することになる．

［主張２の証明終り］

　このことから，$n+1\text{，}$$n+2\text{，}$$n+3\text{，}$$n+4$の$4$個の数は$5$の倍数ではない．$I_n$に含まれる数の素因数は$2\text{，}$$3\text{，}$$5$のみなので，これらの$4$個の数の素因数は$2$と$3$だけである．すなわち，これら$4$個の数はすべて，いくつかの$2$と$3$の積でできている．

　これら連続した$4$個の数は，「偶数，奇数，偶数，奇数」と並んでいるか，または，「奇数，偶数，奇数，偶数」と並んでいるかのどちらかである．どちらの場合であっても，これら$4$個の数の中には，差が$2$の$2$つの奇数が存在することになるが，このようなことはあり得ない．なぜなら，

［定理の証明終り］