2019　北海道教育大学　前期MathJax

【１】　関数$y=\sin x\sin 2x+\cos x$について，次の問いに答えよ．ただし，${\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq x\leqq \pi$とする．

(1)　$\cos {\displaystyle \frac{3}{4}}\pi =-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$であることを説明せよ．

(2)　$t=\cos x$とおく．$t$の値の範囲を求め，$y$を$t$の式で表せ．

(3)　$y$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値を求めよ．

【２】　座標平面上の$3$点$\mathrm{A}$$(1,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(2,0)\text{，}$$\mathrm{P}$$(s,t)$を頂点とする$\mathrm{▵ABP}$について，次の問いに答えよ．ただし，$t>0$とする．

(1)　$\mathrm{▵ABP}$の頂点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{P}$から，それぞれの対辺またはその延長上に下ろした垂線が$1$点$\mathrm{H}$で交わることを証明せよ．

(2)　点$\mathrm{P}$が曲線$y={\displaystyle \frac{1}{x}}$$\text{（}x>0\text{）}$上を動くとき，(1)の点$\mathrm{H}$について，その軌跡の方程式を求めよ．

(3)　(2)で求めた軌跡と$x$軸とで囲まれた図形のうち，$x$軸の上側の部分の面積を求めよ．

【３】　三角形$\mathrm{ABC}$がある．点$\mathrm{P}$は頂点$\mathrm{A}$から出発し，隣の$2$つの頂点のどちらかに，等しく${\displaystyle \frac{1}{2}}$の確率で次々に移動する．$n$を自然数とし，$n$回目の移動のあとに点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$にある確率を，それぞれ$a_n\text{，}$$b_n\text{，}$$c_n$とする．例えば，$n=1$のときは，$a_1=0\text{，}$$b_1=c_1={\displaystyle \frac{1}{2}}$である．次の問いに答えよ．

(1)　$a_{n+1}$を$b_n$と$c_n$を用いて表せ．

(2)　すべての$n$について，$b_n=c_n$が成り立つことを数学的帰納法によって示せ．

(3)　$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表し，数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(4)　$|a_n-b_n|$が${10}^{-5}$より小さくなる最小の$n$を求めよ．ただし，${\log }_{10}2=0.3010$とする．