2019　北海道大学　後期MathJax

【１】　$n$を$3$以上の自然数とする．当たりくじ$2$本を含む$n$本のくじがある．くじを引いて，当たりなら持ち点に$1$を加算し，はずれなら持ち点は変わらないとする．最初の持ち点は$0$とし，くじを引いてはもどすという試行を$n$回繰り返す．

　$k$を$0$以上の整数とする．$n$回の試行が終了した時点の持ち点が$k$となる確率を$p_n(k)$とする．

(1)　確率$p_n(k)$を求めよ．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{p}_n(k)$を求めよ．ただし，$e$を自然対数の底とするとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{(1-{\displaystyle \frac{2}{n}})}^n=e^{-2}$であることを用いてもよい．

(3)　$p(k)=\underset{n\to \infty }{\lim }{p}_n(k)$と定める．値$p(k)$が最大となるような$k$の値を求めよ．

【２】　$a\text{，}t$は実数で，$a$は$1$以上とする．座標平面上の$3$点$\mathrm{O}$$(0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(a,a-1)\text{，}$$\mathrm{P}$$(t,t^2+1)$を頂点とする三角形の重心$\mathrm{G}$の座標を$(X,Y)$とする．

(1)　$X$と$Y$を，$a$と$t$を用いて表せ．

(2)　$a=1$とする．$t$が実数全体を動くとき，$\mathrm{G}$の軌跡を求め，座標平面上に図示せよ．

(3)　$a$が$1$以上の実数全体を，$t$が実数全体を動くとき，$\mathrm{G}$が通過する範囲を座標平面上に図示せよ．

【３】　$r$を正の実数とする．複素数平面上に，点$\alpha$を中心とする半径$r$の円$C$がある．ただし，$C$は原点を通らないものとする．点$z$が円$C$上を動くとき，点$w={\displaystyle \frac{1}{z}}$の描く図形を$C^{\prime }$とする．

(1)　$C^{\prime }$は円であることを示せ．さらに，$C^{\prime }$の中心と半径を$\alpha$と$r$で表せ．

(2)　$C$と$C^{\prime }$が一致するとき，$C$の中心$\alpha$は実軸上または虚軸上にあることを示せ．

【４】　関数$f(x)=\sqrt{x^2-1}\text{（}x\geqq 1\text{）}$と関数$g(t)={\displaystyle \frac{e^t+e^{-t}}{2}}$$\text{（}t\geqq 0\text{）}$を考える．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)　$g(t)\geqq 1$を示せ．

(2)　$a>0$とする．定積分${\displaystyle {\int }_0^a}f(g(t))g^{\prime }(t)dt$を求めよ．

(3)　座標平面上の曲線$y=f(x)$を$C$とする．$p>1$とし，$C$上の点$(p,f(p))$における接線を$l$とする．このとき，曲線$C\text{，}$直線$l\text{，}x$軸で囲まれた図形の面積$S$を$p$で表せ．