2019　北海道大学　前期MathJax

【１】　$p$を負の実数とする．座標空間に原点$\mathrm{O}$と$3$点$\mathrm{A}$$(-1,2,0)\text{，}$$\mathrm{B}(2,-2,1)\text{，}$$\mathrm{P}$$(p,-1,2)$があり，$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$が定める平面を$\alpha$とする．また，点$\mathrm{P}$から平面$\alpha$に垂線を下ろし，$\alpha$との交点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=a\overrightarrow{\mathrm{OA}}+b\overrightarrow{\mathrm{OB}}$となる実数$a\text{，}b$を$p$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{Q}$が$\mathrm{▵OAB}$の周または内部にあるような$p$の範囲を求めよ．

【２】　$x$を正の実数とし，座標平面上に$3$点$\mathrm{A}$$(x,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(-2,2)\text{，}$$\mathrm{C}$$(-3,3)$をとる．直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{AC}$のなす角を$\theta$とする．ただし，$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

(1)　$\tan \theta$を$x$で表せ．

(2)　$x>0$における$\tan \theta$の最大値およびそのときの$x$の値を求めよ．

【３】　$n$を自然数とする．数列$2\text{，}1\text{，}2\text{，}1\text{，}1$のように各項が$1$または$2$の有限数列（項の個数が有限である数列）を考える．各項が$1$または$2$の有限数列のうちすべての項の和が$n$となるものの個数を$s_n$とする．例えば，$n=1$のときは，$1$項からなる数列$1$のみである．したがって，$s_1=1$となる．$n=2$のときは，$1$項からなる数列$2$と$2$項からなる数列$1\text{，}1$の$2$つである．したがって，$s_2=2$となる．

(1)　$s_3$を求めよ．

(2)　$n\geqq 3$のとき，$s_n$を$s_{n-1}$と$s_{n-2}$を用いて表せ．

(3)　$3$以上のすべての$n$に対して$s_n-\alpha s_{n-1}=\beta (s_{n-1}-\alpha s_{n-2})$が成り立つような実数$\alpha \text{，}\beta$の組$(\alpha ,\beta )$を$1$組求めよ．

(4)　$s_n$を求めよ．

【４】　実数$a\text{，}b\text{，}c$に対し，関数$f(x)=x^3-3a{x}^2+bx+c$を考える．$1$次関数$g(x)$があり，$f(x)$とその導関数$f^{\prime }(x)$は，すべての$x$に対し等式$f(x)=f^{\prime }(x)g(x)-6x$を満たしているとする．

(1)　$b$と$c$を$a$で表せ．

(2)　$3$次方程式$f(x)=0$が異なる$3$個の実数解をもつように，$a$の値の範囲を定めよ．

【１】　$p$を負の実数とする．座標空間に原点$\mathrm{O}$と$3$点$\mathrm{A}$$(-1,2,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(2,-2,1)\text{，}$$\mathrm{P}$$(p,-1,2)$があり，$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$が定める平面を$\alpha$とする．また，点$\mathrm{P}$から平面$\alpha$に垂線を下ろし，$\alpha$との交点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)　点$\mathrm{Q}$の座標を$p$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{Q}$が$\mathrm{▵OAB}$の周または内部にあるような$p$の範囲を求めよ．

【２】　$n$を自然数とし，$a_n=n(n+1)$とする．さらに，$a_n$と$a_{n+3}$の最大公約数を$d_n$とする．

(1)　$d_n$は偶数であることを示せ．

(2)　$d_n$は$8$で割り切れないことを示せ．

(3)　$p$を$5$以上の素数とするとき，$d_n$は$p$で割り切れないことを示せ．

(4)　$d_n\leqq 12$を示せ．また，$d_n=12$となるような$n$を$1$つ求めよ．

【３】　$t$を$0<t<1$を満たす実数とする．$0\text{，}{\displaystyle \frac{1}{t}}$以外のすべての実数$x$で定義された関数

$f(x)={\displaystyle \frac{x+t}{x(1-tx)}}$

を考える．

(1)　$f(x)$は極大値と極小値を$1$つずつもつことを示せ．

(2)　$f(x)$の極大値を与える$x$の値を$\alpha \text{，}$極小値を与える$x$の値を$\beta$とし，座標平面上に$2$点$\mathrm{P}(\alpha ,f(\alpha ))\text{，}\mathrm{Q}(\beta ,f(\beta ))$をとる．$t$が$0<t<1$を満たしながら変化するとき，線分$\mathrm{PQ}$の中点$\mathrm{M}$の軌跡を求めよ．

【４】　$n$を$3$以上の自然数とする．$2$つの箱$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$があり，どちらの箱にも$1$から$n$までの$n$枚の番号札が入っている．

　$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$人のうち，$\mathrm{A}$は箱$\mathrm{X}$から札を$1$枚取り出し，取り出した札の番号を得点とする．$\mathrm{B}$は箱$\mathrm{Y}$から札を$1$枚取り出し，もし取り出した札の番号が$3$から$n$までのいずれかであればその番号を得点とし，もし取り出した札の番号が$1$または$2$のいずれかであれば，その札を箱$\mathrm{Y}$に戻し，再び箱$\mathrm{Y}$から札を$1$枚取り出し，取り出した札の番号を$\mathrm{B}$の得点とする．

(1)　$m$を$n$以下の自然数とする．$\mathrm{B}$の得点が$m$になる確率を求めよ．

(2)　$\mathrm{A}$の得点より$\mathrm{B}$の得点が大きくなる確率$p_n$を求めよ．

【５】　$f(x)$を区間$[0,\pi ]$で連続な関数とする．関数$f_1(x)\text{，}{f}_2(x)\text{，}\cdots$を関係式

$f_1(x)=f(x)\text{，}$

$f_{n+1}(x)$$=2\cos x$$+{\displaystyle \frac{2}{\pi }}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{f}_n(t)\sin (x-t)dt$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

により定める．さらに，自然数$n$に対して

$a_n={\displaystyle \frac{2}{\pi }}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{f}_n(t)\sin tdt\text{，}$$b_n={\displaystyle \frac{2}{\pi }}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{f}_n(t)\cos tdt$

とおく．

(1)　$a_{n+1}\text{，}{b}_{n+1}$を$a_n\text{，}{b}_n$を用いて表せ．

(2)　$c_n=a_n-1$とおく．このとき，$c_{n+2}=-c_n$が成立することを示し，一般項$c_n$を$a_1$と$b_1$を用いて表せ．

(3)　$a_n\text{，}{b}_n$が$n$によらない定数となるような$f(x)$を$1$つ求めよ．