2019　大学入試センター試験　本試験　数学IIBMathJax

【１】

［１］　関数$f(\theta )=3{\sin }^2\theta +4\sin \theta \cos \theta -{\cos }^2\theta$を考える．

(1)　$f(0)=\boxed{\text{アイ}}\text{，}$$f\left({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)=\boxed{\text{ウ}}+\sqrt{\boxed{\text{エ}}}$である．

(2)　$2$倍角の公式を用いて計算すると，${\cos }^2\theta ={\displaystyle \frac{\cos 2\theta +\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}$となる．さらに，$\sin 2\theta \text{，}$$\cos 2\theta$を用いて$f(\theta )$を表すと

$f(\theta )=\boxed{\text{キ}}\sin 2\theta -\boxed{\text{ク}}\cos 2\theta +\boxed{\text{ケ}}\cdots \text{①}$

となる．

(3)　$\theta$が$0\leqq \theta \leqq \pi$の範囲を動くとき，関数$f(\theta )$のとり得る最大の整数の値$m$とそのときの$\theta$の値を求めよう．

　三角関数の合成を用いると，$\text{①}$は

$f(\theta )=\boxed{\text{コ}}\sqrt{\boxed{\text{サ}}}\sin (2\theta -{\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{\text{シ}}}})$$+\boxed{\text{ケ}}$

と変形できる．したがって，$m=\boxed{\text{ス}}$である．

　また，$0\leqq \theta \leqq \pi$において，$f(\theta )=\boxed{\text{ス}}$となる$\theta$の値は，小さい順に，${\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{\text{セ}}}}\text{，}{\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{\text{ソ}}}}$である．

【１】

［２］　連立方程式

$\{\begin{array}{ll}{\log }_2(x+2)-2{\log }_4(y+3)=-1& \cdots \text{②}\\ {\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^y-11{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^{x+1}+6=0& \cdots \text{③}\end{array}$

を満たす実数$x\text{，}y$を求めよう．

　真数の条件により，$x\text{，}y$のとり得る値の範囲は$\boxed{\text{タ}}$である．$\boxed{\text{タ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つ選べ．ただし，対数${\log }_{a}b$に対し，$a$を底といい，$b$を真数という．

• $\overline{)\text{0}}$　$x>0\text{，}y>0$
• $\overline{)\text{1}}$　$x>2\text{，}y>3$
• $\overline{)\text{2}}$　$x>-2\text{，}y>-3$
• $\overline{)\text{3}}$　$x<0\text{，}y<0$
• $\overline{)\text{4}}$　$x<2\text{，}y<3$
• $\overline{)\text{5}}$　$x<-2\text{，}y<-3$

　底の変換公式により

${\log }_4(y+3)={\displaystyle \frac{{\log }_2(y+3)}{\boxed{\text{チ}}}}$

である．よって，$\text{②}$から

$y=\boxed{\text{ツ}}x+\boxed{\text{テ}}\cdots \text{④}$

が得られる．

　次に，$t={\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^x$とおき，$\text{④}$を用いて$\text{③}$を$t$の方程式に書き直すと

$t^2-\boxed{\text{トナ}}t+\boxed{\text{ニヌ}}=0\cdots \text{⑤}$

が得られる．また，$x$が$\boxed{\text{タ}}$における$x$の範囲を動くとき，$t$のとり得る値の範囲は

$\boxed{\text{ネ}}<t<\boxed{\text{ノ}}\cdots \text{⑥}$

である．

　$\text{⑥}$の範囲で方程式$\text{⑤}$を解くと，$t=\boxed{\text{ハ}}$となる．したがって，連立方程式$\text{②}\text{，}\text{③}$を満たす実数$x\text{，}$$y$の値は

$x={\log }_3{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヒ}}}{\boxed{\text{フ}}}}\text{，}$$y={\log }_3{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヘ}}}{\boxed{\text{ホ}}}}$

であることがわかる．

【２】　$p\text{，}$$q$を実数とし，関数$f(x)=x^3+p{x}^2+qx$は$x=-1$で極値$2$をとるとする．また，座標平面上の曲線$y=f(x)$を$C\text{，}$放物線$y=-k{x}^2$を$D\text{，}$放物線$D$上の点$(a,-k{a}^2)$を$\mathrm{A}$とする．ただし，$k>0\text{，}$$a>0$である．

(1)　関数$f(x)$が$x=-1$で極値をとるので，$f^{\prime }(-1)=\boxed{\text{ア}}$である．これと$f(-1)=2$により，$p=\boxed{\text{イ}}\text{，}q=\boxed{\text{ウエ}}$である．よって，$f(x)$は$x=\boxed{\text{オ}}$で極小値$\boxed{\text{カキ}}$をとる．

(2)　点$\mathrm{A}$における放物線$D$の接線を$l$とする．$D$と$l$および$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を$a$と$k$を用いて表わそう．

　$l$の方程式は

$y=\boxed{\text{クケ}}kax+k{a}^{\boxed{\text{コ}}}$$\cdots \text{①}$

と表せる．$l$と$x$軸の交点の$x$座標は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}$であり，$D$と$x$軸および直線$x=a$で囲まれた図形の面積は${\displaystyle \frac{k}{\boxed{\text{ス}}}}{a}^{\boxed{\text{セ}}}$である．よって，$S={\displaystyle \frac{k}{\boxed{\text{ソタ}}}}{a}^{\boxed{\text{セ}}}$である．

(3)　さらに，点$\mathrm{A}$が曲線$C$上にあり，かつ(2)の接線$l$が$C$にも接するとする．このときの(2)の$S$の値を求めよう．

　$\mathrm{A}$が$C$上にあるので，$k={\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}-\boxed{\text{テ}}$である．

　$l$と$C$の接点の$x$座標を$b$とすると，$l$の方程式は$b$を用いて

$y=\boxed{\text{ト}}(b^2-\boxed{\text{ナ}})x-\boxed{\text{ニ}}{b}^3\cdots \text{②}$

と表される．$\text{②}$の右辺を$g(x)$とおくと

$f(x)-g(x)={(x-\boxed{\text{ヌ}})}^2(x+\boxed{\text{ネ}}b)$

と因数分解されるので，$a=-\boxed{\text{ネ}}b$となる．$\text{①}$と$\text{②}$の表す直線の傾きを比較することにより，$a^2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノハ}}}{\boxed{\text{ヒ}}}}$である．

　したがって，求める$S$の値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{フ}}}{\boxed{\text{ヘホ}}}}$である．

【３】　初項が$3\text{，}$公比が$4$の等比数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．また，数列$\{T_n\}$は，初項が$-1$であり，$\{T_n\}$の階差数列が数列$\{S_n\}$であるような数列とする．

(1)　$S_2=\boxed{\text{アイ}}\text{，}{T}_2=\boxed{\text{ウ}}$である．

(2)　$\{S_n\}$と$\{T_n\}$の一般項は，それぞれ

$S_n={\boxed{\text{エ}}}^{\boxed{\text{オ}}}-\boxed{\text{カ}}$

$T_n={\displaystyle \frac{{\boxed{\text{キ}}}^{\boxed{\text{ク}}}}{\boxed{\text{ケ}}}}-n-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}$

である．ただし，$\boxed{\text{オ}}$と$\boxed{\text{ク}}$については，当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{4}}$のうちから一つずつ選べ．同じものを選んでもよい．

• $\overline{)\text{0}}$　$n-1$
• $\overline{)\text{1}}$　$n$
• $\overline{)\text{2}}$　$n+1$
• $\overline{)\text{3}}$　$n+2$
• $\overline{)\text{4}}$　$n+3$

(3)　数列$\{a_n\}$は，初項が$-3$であり，漸化式

$n{a}_{n+1}=4(n+1)a_n+8T_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たすとする．$\{a_n\}$の一般項を求めよう．

　そのために，$b_n={\displaystyle \frac{a_n+2T_n}{n}}$により定められる数列$\{b_n\}$を考える．$\{b_n\}$の初項は$\boxed{\text{シス}}$である．

　$\{T_n\}$は漸化式

$T_{n+1}=\boxed{\text{セ}}{T}_n+\boxed{\text{ソ}}n+\boxed{\text{タ}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たすから，$\{b_n\}$は漸化式

$b_{n+1}=\boxed{\text{チ}}{b}_n+\boxed{\text{ツ}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たすことがわかる．よって，$\{b_n\}$の一般項は

$b_n=\boxed{\text{テト}}\cdot {\boxed{\text{チ}}}^{\boxed{\text{ナ}}}-\boxed{\text{ニ}}$

である．ただし，$\boxed{\text{ナ}}$については，当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{4}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　$n-1$
• $\overline{)\text{1}}$　$n$
• $\overline{)\text{2}}$　$n+1$
• $\overline{)\text{3}}$　$n+2$
• $\overline{)\text{4}}$　$n+3$

　したがって，$\{T_n\}\text{，}\{b_n\}$の一般項から$\{a_n\}$の一般項を求めると

$a_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌ}}(\boxed{\text{ネ}}n+\boxed{\text{ノ}}){\boxed{\text{チ}}}^{\boxed{\text{ナ}}}+\boxed{\text{ハ}}}{\boxed{\text{ヒ}}}}$

である．

【４】　四角形$\mathrm{ABCD}$を底面とする四角$\stackrel{\text{すい}}{\text{錐}}\mathrm{OABCD}$を考える．四角形$\mathrm{ABCD}$は，辺$\mathrm{AD}$と辺$\mathrm{BC}$が平行で，$\mathrm{AB}=\mathrm{CD}\text{，}$$\mathrm{\angle ABC}=\mathrm{\angle BCD}$を満たすとする．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$として

$\begin{array}{lll}\left|\overrightarrow{a}\right|=1\text{，}& \left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{3}\text{，}& \left|\overrightarrow{c}\right|=\sqrt{5}\\ \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=1\text{，}& \overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=3\text{，}& \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=0\end{array}$

であるとする．

(1)　$\mathrm{\angle AOC}=\boxed{\text{アイ}}\mathrm{°}$により，三角形$\mathrm{OAC}$の面積は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}}{\boxed{\text{エ}}}}$である．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{BA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\boxed{\text{オカ}}\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{BA}}\right|=\sqrt{\boxed{\text{キ}}}\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{BC}}\right|=\sqrt{\boxed{\text{ク}}}$であるから，$\mathrm{\angle ABC}=\boxed{\text{ケコサ}}\mathrm{°}$である．さらに，辺$\mathrm{AD}$と辺$\mathrm{BC}$が平行であるから，$\mathrm{\angle BAD}=\mathrm{\angle ADC}=\boxed{\text{シス}}\mathrm{°}$である．よって，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\boxed{\text{セ}}\overrightarrow{\mathrm{BC}}$であり

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{a}-\boxed{\text{ソ}}\overrightarrow{b}+\boxed{\text{タ}}\overrightarrow{c}$

と表される．また，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}\sqrt{\boxed{\text{ツ}}}}{\boxed{\text{テ}}}}$である．

(3)　三角形$\mathrm{OAC}$を底面とする三角錐$\mathrm{BOAC}$の体積$V$を求めよう．

　$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{C}$の定める平面$\alpha$上に，点$\mathrm{H}$を$\overrightarrow{\mathrm{BH}}\perp \overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{\mathrm{BH}}\perp \overrightarrow{c}$が成り立つようにとる．$\left|\overrightarrow{\mathrm{BH}}\right|$は三角錐$\mathrm{BOAC}$の高さである．$\mathrm{H}$は$\alpha$上の点であるから，実数$s\text{，}$$t$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{c}$の形に表される．

　$\overrightarrow{\mathrm{BH}}\cdot \overrightarrow{a}=\boxed{\text{ト}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{BH}}\cdot \overrightarrow{c}=\boxed{\text{ト}}$により，$s=\boxed{\text{ナ}}\text{，}$$t={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}$である．よって，$\left|\overrightarrow{\mathrm{BH}}\right|={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ネ}}}}{\boxed{\text{ノ}}}}$が得られる．したがって，(1)により，$V={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ハ}}}{\boxed{\text{ヒ}}}}$であることがわかる．

(4)　(3)の$V$を用いると，四角錐$\mathrm{OABCD}$の体積は$\boxed{\text{フ}}V$と表せる．さらに，四角形$\mathrm{ABCD}$を底面とする四角錐$\mathrm{OABCD}$の高さは${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ヘ}}}}{\boxed{\text{ホ}}}}$である．

【５】　以下の問題を解答するにあたっては，必要に応じて正規分布表を用いてもよい．

(1)　ある食品を摂取したときに，血液中の物質$\mathrm{A}$の量がどのように変化するか調べたい．食品摂取前と摂取してから$3$時間後に，それぞれ一定量の血液に含まれる物質$\mathrm{A}$の量（単位は$\mathrm{mg}$）を測定し，その変化量，すなわち摂取後の量から摂取前の量を引いた値を表す確率変数を$X$とする．$X$の期待値（平均）は$E(X)=-7\text{，}$標準偏差は$\sigma (X)=5$とする．

　このとき，$X^2$の期待値は$E(X^2)=\boxed{\text{アイ}}$である．

　また，測定単位を変更して$W=1000X$とすると，その期待値は$E(W)=-7\times {10}^{\boxed{\text{ウ}}}\text{，}$分散は$V(W)=5^{\boxed{\text{エ}}}\times {10}^{\boxed{\text{オ}}}$となる．

(2)　(1)の$X$が正規分布に従うとするとき，物質$\mathrm{A}$の量が減少しない確率$P(X\geqq 0)$を求めよう．この確率は

$P(X\geqq 0)=P({\displaystyle \frac{X+7}{5}}\geqq \boxed{\text{カ}}.\boxed{\text{キ}})$

であるので，標準正規分布に従う確率変数を$Z$とすると，正規分布表から，次のように求められる．

$P(Z\geqq \boxed{\text{カ}}.\boxed{\text{キ}})=0.\boxed{\text{クケ}}\cdots \text{①}$

　無作為に抽出された$50$人がこの食品を摂取したときに，物質$\mathrm{A}$の量が減少するか，減少しないかを考え，物質$\mathrm{A}$の量が減少しない人数を表す確率変数を$M$とする．$M$は二項分布$B(50,0.\boxed{\text{クケ}})$に従うので，期待値は$E(M)=\boxed{\text{コ}}.\boxed{\text{サ}}\text{，}$標準偏差は$\sigma (M)=\sqrt{\boxed{\text{シ}}.\boxed{\text{ス}}}$となる．ただし，$0.\boxed{\text{クケ}}$は$\text{①}$で求めた小数第$2$位までの値とする．

(3)　(1)の食品摂取前と摂取してから$3$時間後に，それぞれ一定量の血液に含まれる別の物質$\mathrm{B}$の量（単位は$\mathrm{mg}$）を測定し，その変化量，すなわち摂取後の量から摂取前の量を引いた値を表す確率変数を$Y$とする．$Y$の母集団分布は母平均$m\text{，}$母標準偏差$6$をもつとする．$m$を推定するため，母集団から無作為に抽出された$100$人に対して物質$\mathrm{B}$の変化量を測定したところ，標本平均$\bar{Y}$の値は$-10.2$であった．

　このとき，$\bar{Y}$の期待値は$E(\bar{Y})=m\text{，}$標準偏差は$\sigma (\bar{Y})=\boxed{\text{セ}}.\boxed{\text{ソ}}$である．$\bar{Y}$の分布が正規分布で近似できるとすれば，$Z={\displaystyle \frac{\bar{Y}-m}{\boxed{\text{セ}}.\boxed{\text{ソ}}}}$は近似的に標準正規分布に従うとみなすことができる．

　正規分布表を用いて$\left|Z\right|\leqq 1.64$となる確率を求めると$0.\boxed{\text{タチ}}$となる．このことを利用して，母平均$m$に対する信頼度$\boxed{\text{タチ}}\mathrm{\%}$の信頼区間，すなわち，$\boxed{\text{タチ}}\mathrm{\%}$の確率で$m$を含む信頼区間を求めると，$\boxed{\text{ツ}}$となる．$\boxed{\text{ツ}}$に当てはまる最も適当なものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　$-11.7\leqq m\leqq -8.7$
• $\overline{)\text{1}}$　$-11.4\leqq m\leqq -9.0$
• $\overline{)\text{2}}$　$-11.2\leqq m\leqq -9.2$
• $\overline{)\text{3}}$　$-10.8\leqq m\leqq -9.6$