2018　千歳科学技術大　Ⅱ期MathJax

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(1)　$2x^2-y^2-z^2$$+xy$$+2yz$$-zx$を因数分解しなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(2)　方程式$|2x|=3x+1$の解を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(3)　$50$人のクラスで，兄もしくは弟がいる学生は$28$人，姉もしくは妹がいる学生は$34$人であった．一人っ子は，最大で何人であると推定されるか答えなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(4)　円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において$\mathrm{\angle A}:\mathrm{\angle B}:\mathrm{\angle C}=4:5:6$のとき，$\mathrm{\angle A}$の大きさを求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(5)　$\sin {\displaystyle \frac{\pi }{8}}$を求めなさい．

【２】　$xy$平面上の点$\mathrm{P}$は曲線$x^2+y^2-4x-4y+7=0$上を動き，点$\mathrm{Q}$は曲線$x^2+y^2-25=0$上を動く．このとき，原点を$\mathrm{O}$として以下の問いに答えなさい．途中の過程も書きなさい．

(1)　点$\mathrm{P}$の座標が$(1,2)$であるとき$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\perp \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を満たす点$\mathrm{Q}$の座標をすべて求めなさい．

(2)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$の最大値を求めなさい．

【３】　$a_1=1\text{，}$$a_n=3a_{n-1}-n+1$$\text{（}n\geqq 2\text{）}$で定められる数列$\{a_n\}$について，以下の問いに答えなさい．途中の過程も書きなさい．

(1)　$b_n=a_{n+1}-a_n$とおくとき，$b_{n+1}$と$b_n$の関係式を求めなさい．

(2)　数列$\{b_n\}$の一般項を求めなさい．

(3)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めなさい．

【４】　曲線$C\text{：}y=x^3+a{x}^2+bx$について以下の問いに答えなさい．ただし，$a\text{，}$$b$は定数とする．なお，途中の過程も書きなさい．

(1)　曲線$C$が原点対称になるときの$a$の値を求めなさい．

(2)　(1)のとき，曲線$C$が直線$y=2$と接するための$b$の値と接点の座標を求めなさい．

(3)　(2)のとき，曲線$C$と$y=2$で囲まれる領域の面積を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(2)　$x$を実数として，方程式$|5x|=7x+4$の解を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(5)　$\underset{h\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{e^h-1}{h}}$を求めなさい．

【４】　$f(x)=x^2{e}^{-x}$とする．関数$y=f(x)$の増減およびグラフの凹凸を調べてグラフをかきたい．以下の問いに答えなさい．なお，$\underset{x\to \infty }{\lim }{x}^2{e}^{-x}=0$であることを使ってよい．

(1)　$f^{\prime }(x)$および$f^{″}(x)$を求めなさい．

(2)　グラフの凹凸もわかるような$f(x)$の増減表を作りなさい．

(3)　$y=f(x)$のグラフをかきなさい．