2018　長崎大学　前期

【１】　以下はそれぞれ個別の問題である．各問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-2x+{\displaystyle \frac{5}{6}}$の極値を求めよ．さらに，$3$次方程式$f(x)=k$が，異なる正の解を$2$個，負の解を$1$個もつように，定数$k$の値の範囲を定めよ．

【１】　以下はそれぞれ個別の問題である．各問いに答えよ．

(2)　$0<\theta <\pi$で$\tan \theta =-2\sqrt{2}$のとき，$\cos \theta$と$\cos {\displaystyle \frac{\theta }{2}}$の値を求めよ．

【１】　以下はそれぞれ個別の問題である．各問いに答えよ．

(3)　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．

$S_n=6n-2a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

が成り立つとき，初項$a_1$および一般項$a_n$を求めよ．

【１】　以下はそれぞれ個別の問題である．各問いに答えよ．

(4)　座標平面上に原点$\mathrm{O}\text{，}$点$\mathrm{A}(5,2)\text{，}$点$\mathrm{B}(11,10)$がある．条件$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BP}}=0$を満たす点$\mathrm{P}(x,y)$の軌跡を求めよ．さらに，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|$の最大値と最小値，およびそのときの$\mathrm{P}$の座標をそれぞれ求めよ．

【２】　関数$f(x)$を

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2& \text{（}x<0\text{）}\\ 2x^2& \text{（}x\geqq 0\text{）}\end{array}$

と定義する．曲線$C\text{：}y=f(x)$の上に$2$点$\mathrm{A}(-a,a^2)\text{，}\mathrm{B}(a,2a^2)$がある．ただし，$a$は正の定数とする．以下の各問いに答えよ．

(1)　直線$\mathrm{AB}$の方程式を求めよ．また，線分$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．

(2)　曲線$C$と直線$\mathrm{AB}$で囲まれる図形の面積$S$を求めよ．

(3)　$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$における曲線$C$の接線を，それぞれ$l\text{，}m$とする．$l\text{，}m$の方程式を求めよ．さらに，$l$と$m$の交点$\mathrm{D}$の座標を求めよ．

(4)　直線$\mathrm{AB}$と直線$l$が直交するように，$a$の値を定めよ．このとき，曲線$C$と$2$直線$l\text{，}m$とで囲まれる図形の面積$T$を求めよ．

【３】　以下はそれぞれ個別の問題である．各問いに答えよ．

(2)　$\sin {\displaystyle \frac{\alpha -\beta }{2}}=A$とするとき，

${(\cos \alpha -\cos \beta )}^2+{(\sin \alpha -\sin \beta )}^2$

の値を$A$を用いて表せ．

【３】　以下はそれぞれ個別の問題である．各問いに答えよ．

(3)　方程式

${\log }_2{x}^2=2+{\log }_2|x-2|$

を解け．

【３】　以下はそれぞれ個別の問題である．各問いに答えよ．

(4)　関数$f(x)$を

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+x& \text{（}x<0\text{）}\\ x& \text{（}x\geqq 0\text{）}\end{array}$

と定義する．「微分係数の定義」にしたがって，$f(x)$の$x=0$における微分係数を求めよ．

【４】　半径$a$の円が$x$軸上を滑ることなく正の方向に回転していくとき，円周上の$2$つの定点$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の運動について考える．時刻$t=0$のとき$\mathrm{P}$は原点$\mathrm{O}$にあり，$\mathrm{Q}$は点$(0,2a)$にある．円は毎秒$1$ラジアンの速さで回転する．このとき，点$\mathrm{P}$の時刻$t$における座標$(x,y)$は

$x=a(t-\sin t)\text{，}y=a(1-\cos t)$

で表される．以下の問いに答えよ．

(1)　時刻$t$における円の中心$\mathrm{C}$と点$\mathrm{Q}$の座標を，それぞれ求めよ．

(2)　時刻$t$における点$\mathrm{P}$の速度ベクトル$\overrightarrow{v_{\mathrm{P}}}=({\displaystyle \frac{dx}{dt}},{\displaystyle \frac{dy}{dt}})$を求めよ．また，時刻$t$が$0\leqq t\leqq 2\pi$の範囲において，速さ$\left|\overrightarrow{v_{\mathrm{P}}}\right|$の最大値と最小値，およびその時の$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(3)　時刻$t$における点$\mathrm{Q}$の速度ベクトル$\overrightarrow{v_{\mathrm{Q}}}$を求めよ．さらに，内積$\overrightarrow{v_{\mathrm{P}}}\cdot \overrightarrow{v_{\mathrm{Q}}}$を求めよ．

(4)　時刻$t={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$から$t={\displaystyle \frac{3\pi }{2}}$までの間に点$\mathrm{P}$が動く道のり$L_{\mathrm{P}}$と，点$\mathrm{Q}$が動く道のり$L_{\mathrm{Q}}$を，それぞれ求めよ．

（編注）2024年名古屋市立大学薬学部一般選抜 中期日程で改変して活用

【５】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3-x+2$がある．曲線$C\text{：}y=f(x)$の変曲点を$\mathrm{P}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　関数$y=f(x)$の増減および凹凸を調べ，極値および$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(2)　曲線$C$上の点$\mathrm{P}$における接線を$l$とする．また，$\mathrm{P}$を通り$l$に垂直な直線を$m$とする．$l\text{，}m$の方程式を求めよ．

(3)　直線$m$と曲線$C$との交点で，$\mathrm{P}$と異なる点を$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$とする．ただし，$\mathrm{Q}$の$x$座標は$\mathrm{R}$の$x$座標より小さいものとする．このとき，$C$と線分$\mathrm{PR}$とで囲まれる図形$F$の面積$S$を求めよ．

(4)　$\mathrm{P}$を通り，図形$F$の面積を$2$等分する直線の方程式を求めよ．

【６】　三角形$\mathrm{OAB}$において

$\mathrm{OA}=a\text{，}\mathrm{OB}=b\text{，}\angle \mathrm{O}=\theta$

とおく．ただし，$0<b\leqq a\text{，}0<\theta <\pi$である．また，点$\mathrm{C}$と$\mathrm{D}$は，それぞれ，直線$\mathrm{OA}$と$\mathrm{OB}$上にあり，$\mathrm{CB}\perp \mathrm{OA}\text{，}\mathrm{DA}\perp \mathrm{OB}$を満たす．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，この三角形の外心$\mathrm{P}$について調べる．以下の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$a\text{，}b\text{，}\theta \text{，}\overrightarrow{a}$を用いて表せ．また，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$a\text{，}b\text{，}\theta \text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{OA}$の$\mathrm{A}$を通る垂線と，$\mathrm{OB}$の$\mathrm{B}$を通る垂線との交点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=l\overrightarrow{\mathrm{CB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{BQ}}=m\overrightarrow{\mathrm{DA}}$となる実数$l\text{，}m$がある．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}$であることに注意して，$l$と$m$の値を$a\text{，}b\text{，}\theta$を用いて表せ．

(3)　$\mathrm{Q}$が(2)の点であるとき，

$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=p\overrightarrow{a}+q\overrightarrow{b}$

となる実数$p\text{，}q$がある．$p$と$q$の値を$a\text{，}b\text{，}\theta$を用いて表せ．また，

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=r\overrightarrow{a}+s\overrightarrow{b}$

を満たす$r$と$s$の値を$a\text{，}b\text{，}\theta$を用いて表せ．

【７】　$t$を正の実数とし，複素数平面上に$2$点$\mathrm{A}(t)\text{，}\mathrm{B}(-{\displaystyle \frac{1}{t}})$がある．等式

$t|z+{\displaystyle \frac{1}{t}}|={\displaystyle \frac{1}{t}}|z-t|$(a)

を満たす点$\mathrm{P}(z)$の全体が表す図形を$F$とする．下の小問(1)から(4)を通して$F$がどのような図形を表すか調べたい．以下の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$はどちらも図形$F$の点ではないことを示せ．

(2)　$t=1$ならば，$F$はどのような図形を表すか．

(3)　$t\ne 1$とする．図形$F$の点$\mathrm{P}(z)$が直線$\mathrm{AB}$上に位置するような$z$の値は$2$つある．その値$z_1$と$z_2$を求めよ．ただし，$\left|z_1\right|<\left|z_2\right|$とする．

(4)　$t\ne 1$とする．$2$点${\mathrm{P}}_1(z_1)\text{，}{\mathrm{P}}_2(z_2)$を結ぶ線分の中点を$\mathrm{M}(m)$として，$m$の値を求めよ．また，$\mathrm{P}(z)$が図形$F$の点であるとき，$|z-m|$の値を求めよ．さらに，$F$はどのような図形を表すか．

【８】　積分を用いて表される次の関数

$F_n(x)={\displaystyle {\int }_0^x}{\displaystyle \frac{t^n}{n!}}{e}^{-t}dt\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

について，以下の問いに答えよ．ただし，$0!=1$と定める．

　また，関数$y=t^0$は，関数$y=1$を意味する．

(1)　部分積分を利用して，$F_2(x)$を$F_1(x)$を用いて表せ．同様に，$F_1(x)$を$F_0(x)$を用いて表せ．

(2)　$F_0(x)$を計算し，積分を含まない式として表せ．その結果を利用して，$F_1(x)$を積分を含まない式として表せ．さらに，$F_2(x)$を積分を含まない式として表せ．

(3)　$n\geqq 1$のとき，$F_n(x)$を$F_{n-1}(x)$を用いて表せ．さらに，$n\geqq 0$のとき，$F_n(x)$を積分を含まない式として表せ．

(4)　$p(x)=x^n$とおくとき，$k$次導関数

$p^{(k)}(x)\text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$

を求めよ．そして，

${\displaystyle {\int }_0^x}{t}^n{e}^{-t}dt=n!-e^{-x}{\displaystyle \sum _{k=0}^n}{p}^{(k)}(x)$

が成り立つことを示せ．ただし，$p^{(0)}(x)=p(x)$と定める．

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